双曲線関数 sinh と cosh（三角関数とよく似た微分の規則）

指数関数を $2$ つ組み合わせると、三角関数によく似た関数ができます^[1]。

$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

読み方はハイパボリックサイン、ハイパボリックコサイン。双曲線関数と呼ばれます。

薄い $2$ 本を足したものが $\cosh$、引いたものが $\sinh$。右へ行くほど、どちらも $\frac{e^x}{2}$ に近づきます。

$\cosh$ は偶関数で最小値が $1$、$\sinh$ は奇関数で原点を通ります。$\cos$ と $\sin$ の偶奇と同じ組み合わせです。

微分すると入れかわる

定義の式をそのまま微分します。指数関数の微分だけで済みます。

$$(\sinh x{)}^{\prime }=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh x$$

$$(\cosh x{)}^{\prime }=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh x$$

三角関数と違い、負号が付きません^[1]。$2$ 回微分すると元に戻ります。

$$(\sinh x{)}^{\prime \prime }=\sinh x,(\cosh x{)}^{\prime \prime }=\cosh x$$

三角関数は $4$ 回で戻り、双曲線関数は $2$ 回で戻る。この違いが、あとで効いてきます。

基本の関係

$2$ 乗して引くと $1$ になります^[1]。

$${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$$

計算は展開するだけです。$\frac{(e^x+e^{-x}{)}^2-(e^x-e^{-x}{)}^2}{4}=\frac{4}{4}=1$。

三角関数では ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ でした。足し算が引き算に変わっただけの形です。

名前の由来

点 $(\cos t,\sin t)$ は単位円 $x^2+y^2=1$ の上にありました。点 $(\cosh t,\sinh t)$ は $x^2-y^2=1$ の上にあります^[1]。

これは双曲線です。円に対応する関数が三角関数、双曲線に対応する関数が双曲線関数、という名づけになっています。

点は双曲線の右半分だけを動きます。$\cosh t\ge 1$ なので、左側には行きません。

$t$ は角ではありません。三角関数の $t$ が角だったのに対し、こちらは面積に対応する量です。

tanh の微分

$\tan$ と同じように、商として定義します。

$$\tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x},(\tanh x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cosh }^{2}x}=1-{\tanh }^{2}x$$

商の微分で計算し、基本の関係を使うと $2$ つの形が出ます^[1]。

$\tanh$ は $-1$ と $1$ のあいだに収まり、$x\to \pm \infty$ でその値に近づきます。水平漸近線を $2$ 本もつ形です。

懸垂線

両端を持った鎖やロープが垂れ下がる形は、放物線ではなく $\cosh$ のグラフです。

$$y=a\cosh \frac{x}{a}$$

微分すると $\sinh \frac{x}{a}$、もう一度微分すると $\frac{1}{a}\cosh \frac{x}{a}$。曲がり方が高さに比例する形になっています。

薄い曲線が放物線です。中央付近ではほとんど重なり、外へ行くほど離れていきます。

見た目が似ているので混同されがちですが、別の曲線です。$\cosh$ の展開の $2$ 次までが、その放物線にあたります。

三角関数との対応

公式を覚え直すというより、三角関数の公式の符号を確かめながら使う形になります。

押さえるところ

高校では扱いませんが、指数関数の微分だけで全部が導けます。三角関数との対応を確かめながら追うと、公式が減って見えます。

参考文献