面積や体積をいちばん大きくする……最大・最小の文章題の組み立て

文章題で最大や最小を求めるとき、計算そのものは増減表を書くだけです。手間がかかるのは、その前の組み立て。

手順は $6$ つに決まっています^[1]。

$4$ 番目と $5$ 番目を飛ばすと、答えが出ても意味を持ちません。変数が $2$ つ残ったままでは微分できず、定義域を外れた解は現実に合わない。

切り落とす正方形を大きくすると、底面は小さくなり高さは増します。両方の兼ね合いで、途中に山ができる。

例：厚紙から箱を作る

$36$ センチ $\times$ $24$ センチの厚紙の四隅から、一辺 $x$ の正方形を切り落として箱を作ります^[1]。

底面は $(36-2x)\times (24-2x)$、高さは $x$ です。体積を式にします。

$$V(x)=x(36-2x)(24-2x)=4x^3-120x^2+864x$$

定義域は $0<x<12$。$x$ が $12$ 以上だと、短いほうの辺が残りません。

微分して $0$ とおきます。

$$V^{\prime }(x)=12x^2-240x+864=12(x^2-20x+72)$$

解は $x=10\pm 2\sqrt{7}$ です。定義域に入るのは $x=10-2\sqrt{7}\fallingdotseq 4.71$ のほう。

体積はおよそ $1825$ 立方センチになります。もう $1$ つの解を捨てる作業まで含めて答案です。

例：壁を利用して囲む

長さ $100$ メートルの金網で、長方形の $3$ 辺を囲みます。残りの $1$ 辺は壁を使う^[1]。

壁に垂直な辺を $x$ とすると、壁と平行な辺は $100-2x$ です。面積を式にします。

$$A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$$

定義域は $0<x<50$。$A^{\prime }(x)=100-4x$ から $x=25$ です。

このとき縦が $25$、横が $50$ で、面積は $1250$ 平方メートル。金網の半分が壁と平行な辺に使われる形になります。

図に記号を書き込むと、関係式が目で拾えます。$3$ 辺の合計が $100$ という条件が、そのまま $2x+(100-2x)$ の形。

例：缶の表面積を小さくする

体積が $V$ の円柱の缶で、材料をいちばん少なくする形を探します。半径を $r$、高さを $h$ とします。

体積の条件から $h=\frac{V}{\pi r^2}$ です。これを表面積の式に入れて $1$ 変数にします。

$$S=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+\frac{2V}{r}$$

微分すると $S^{\prime }=4\pi r-\frac{2V}{r^2}$。これを $0$ とおくと $r^3=\frac{V}{2\pi }$ が出ます。

このとき $h=2r$ になります。高さが直径と等しい缶が、材料をいちばん節約する形。

例：曲線上でいちばん近い点

放物線 $y=x^2$ の上で、点 $(3,0)$ にいちばん近い点を探します^[1]。

距離のままだと根号が邪魔なので、$2$ 乗して考えます。距離が最小のとき、$2$ 乗も最小です。

$$L(x)=(x-3{)}^2+x^4$$

微分すると $L^{\prime }(x)=2(x-3)+4x^3=2(2x^3+x-3)$。$x=1$ が解で、因数分解すると残りは実数解を持ちません。

いちばん近い点は $(1,1)$、距離は $\sqrt{5}$ です。根号を外して考える工夫が、計算を軽くしています。

定義域と端の扱い

閉じた区間なら、極値と両端の値をすべて並べて比べます^[2]。端で最大になることも珍しくありません^[3]。

開いた区間では端の値をとれないので、極限で様子を見ます。箱の問題では $x\to 0$ と $x\to 12$ のどちらでも体積が $0$ に近づき、途中の極大が最大だと分かる。

現実に合うかを確かめる

$V^{\prime }(x)=0$ の解が $2$ つ出たとき、片方は定義域の外でした。数式が返してきた答えを、そのまま書かないところが大事です。

長さが負になる、材料が足りなくなる、袋が閉じない。式の上では成り立っても、状況として無理な解は捨てます。

組み立てで気をつけるところ

式を立てるところまで進めば、あとは増減表の作業です。図をかき、記号を入れ、関係式を探す。この $3$ つを毎回同じ順でやると、迷う場面が減ります。

参考文献