多項式で関数を近づけた先に現れるオイラーの公式

接線は $1$ 次式による近似でした。次数を上げていくと、重なる範囲が広がります。

$$f(x)\fallingdotseq f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$$

この多項式をマクローリン展開といいます^[1]。教科書の範囲を超えますが、近似式の続きとして自然につながる話です。

項を $1$ つ足すたびに、青い曲線が黒に寄り添う範囲が広がります。原点の近くから、外へ向かって伸びていく。

係数はどう決まるか

$x=0$ での値、傾き、曲がり方を順にそろえます。$n$ 回微分して $x=0$ を代入するだけです^[1]。

$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots$ とおいて $k$ 回微分し、$x=0$ を入れます。

$$f^{(k)}(0)=k!a_k,a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$$

階乗が分母に出るのは、$x^k$ を $k$ 回微分すると $k!$ が出るためです。

3 つの基本の展開

指数関数と三角関数は、どこまでも続く形で書けます^[1]。

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$

$\sin$ は奇数次だけ、$\cos$ は偶数次だけ。原点についての対称性が、そのまま次数に出ています。

$3$ つとも、すべての実数で収束します。剰余項が $0$ に近づくためです^[1]。

例：近似の精度を見る

$\sin 0.5$ を計算します。$2$ 項までなら $0.5-\frac{0.125}{6}=0.47917$。

実際の値は $0.479426$ です。$3$ 項目 $\frac{0.5^5}{120}=0.00026$ を足すと、さらに近づきます。

$x$ が小さいほど、少ない項で足ります。$x$ が大きいと、多くの項が要る。

オイラーの公式

$e^x$ の展開で、$x$ を $i\theta$ に置きかえます。$i$ は $2$ 乗して $-1$ になる数です^[2]。

$i^2=-1$、$i^3=-i$、$i^4=1$ と $4$ つで巡ります。項を実部と虚部に分けます。

$$e^{i\theta }=\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\cdots \right)+i\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\cdots \right)$$

括弧の中が、そのまま $\cos \theta$ と $\sin \theta$ の展開になっています。

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

指数関数と三角関数が、複素数を通してつながりました^[2]。

$e^{i\theta }$ は、単位円の上を角 $\theta$ だけ回った点を表します。$\theta =\pi$ なら $-1$ の位置^[2]。

$$e^{i\pi }+1=0$$

$e$、$\pi$、$i$、$1$、$0$ の $5$ つが $1$ 本の式に並びます。オイラーの等式と呼ばれる形です。

三角関数を指数で書く

$\theta$ を $-\theta$ に替えた式と足し引きすると、$\cos$ と $\sin$ がとり出せます^[2]。

$$\cos \theta =\frac{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2},\sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$$

加法定理は、指数法則 $e^{i(\alpha +\beta )}=e^{i\alpha }{e}^{i\beta }$ から出ます。展開して実部と虚部を比べるだけ。

覚える公式が減る、という利点があります。三角関数の複雑な変形が、指数の計算に置きかわる。

近似式とのつながり

数学Ⅲで習う近似式は、この展開の $1$ 次までをとり出したものです^[3]。

次数を上げれば精度が上がる、という関係が背景にあります。どこまで足すかを選べる形になっている。

押さえるところ

高校の教科書には出てきませんが、近似式の背景として知っておくと見通しがよくなります。オイラーの公式は、その先にある景色です。

参考文献