関数の強さ比べ〜指数が多項式に勝ち、多項式が対数に勝つ順番

$x$ を大きくしていくと、関数によって増え方の勢いが違います。順位は決まっています^[1]。

$lo g x ≪ x^{p} ≪ e^{x}$

対数がいちばん遅く、指数がいちばん速い。多項式はそのあいだで、次数をいくら上げても指数には届きません。

視野を広げると、青い指数関数だけが縦に伸びます。 $2$ 次関数はつぶれ、対数はほとんど平ら。

$x$ が小さいうちは順位が違って見えることもあります。順位が確定するのは、十分大きくしたあとです。

極限で書くとどうなるか

順位は極限の形で書けます^[1]。

$x \to \infty lim \frac{x ^{p}}{e ^{x}} = 0, x \to \infty lim \frac{lo g x}{x ^{p}} = 0$

分母のほうが強いので、比が $0$ に落ちます。 $p$ をどれだけ大きくしても、結論は変わりません。

高校の範囲で示す

不等式ではさむ方法を使います。 $x > 0$ で $e^{x} > \frac{x ^{2}}{2}$ が成り立ちます^[2]。

$0 < \frac{x}{e ^{x}} < \frac{x}{x ^{2} /2} = \frac{2}{x}$

右辺が $0$ に近づくので、はさみうちの原理から $\frac{x}{e ^{x}} \to 0$ 。

$x^{3}$ なら $e^{x} > \frac{x ^{4}}{24}$ を使います。次数を $1$ つ上げた項で押さえる、という手順です。

対数のほうは置きかえます。 $lo g x = t$ とおくと $x = e^{t}$ となり、 $\frac{lo g x}{x} = \frac{t}{e ^{t}}$ 。指数の話に帰着します。

y = log x / x を調べる

この関数は、大小比較の道具として何度も出てきます。増減を調べます。

$y^{'} = \frac{1 - lo g x}{x ^{2}}$

$x = e$ で $0$ になり、そこが極大です。値は $\frac{1}{e}$ 。

$x \to + 0$ で $- \infty$ 、 $x \to \infty$ で $0$ に近づきます。 $x = 1$ で $x$ 軸と交わる形です。

$x = e$ で山になり、そこから下がっていきます。 $x = 2$ と $x = 4$ が同じ高さにあるところが、あとで効いてきます。

a の b 乗と b の a 乗を比べる

$a^{b}$ と $b^{a}$ の大小は、対数をとると見やすくなります。どちらも正なので、大小関係は変わりません。

$lo g a^{b} = b lo g a, lo g b^{a} = a lo g b$

両辺を $ab$ で割ります。 $a$ と $b$ が正なら向きは変わりません。

$\frac{lo g a}{a} と \frac{lo g b}{b}$

さきほどのグラフの高さを比べるだけになりました。山の左右どちらにあるかで、結果が決まります。

例：e の π 乗と π の e 乗

$e$ と $π$ を比べます。 $\frac{lo g x}{x}$ は $x = e$ で最大なので、 $π$ での値はそれより小さい。

$\frac{lo g e}{e} > \frac{lo g π}{π}$

両辺に $e π$ を掛けると $π lo g e > e lo g π$ 、つまり $π > lo g π^{e}$ 。

$lo g e^{π} = π$ なので、 $e^{π} > π^{e}$ が出ます。数値では $23.14$ と $22.46$ です。

例：a の b 乗が b の a 乗と等しくなる自然数

$\frac{lo g a}{a} = \frac{lo g b}{b}$ となる、異なる自然数の組を探します。

グラフで同じ高さを $2$ 度通る値です。 $x = 2$ と $x = 4$ を計算します。

$\frac{lo g 2}{2} = \frac{2 lo g 2}{4} = \frac{lo g 4}{4}$

一致しました。 $2^{4} = 4^{2} = 16$ です。 $x = e$ をはさむ整数の組は、これしかありません。

$3$ 以上の整数どうしでは、山の右側で単調に減るので、同じ高さを $2$ 度は通れない。

$2^{2}$ と $(2)^{2}$ の大小はどれか。

等しい
$2^{2}$ のほうが大きい
$(2)^{2}$ のほうが大きい

__RESULT__

$(2)^{2} = 2$ です。 $2^{2} = 2^{1.414 \dots}$ で、指数が $1$ より大きいので $2$ を超えます。 $\frac{lo g x}{x}$ で比べると、 $2$ が $e$ の左にある点として読めます。

極限の使いどころ

強さの順位は、グラフの概形でも使います^[3]。

y = x e^{- x}

は

x \to \infty

で

0

に近づきます。指数が勝つためです。

y = x lo g x

は

x \to + 0

で

0

に近づきます。

x

のほうが強い。

y = \frac{e ^{x}}{x ^{100}}

は発散します。次数がいくら大きくても指数が勝ちます。

y = \frac{lo g x}{x}

は

0

に近づきます。根号でも対数より強い。

漸近線を調べるとき、この順位を知っていれば計算せずに見当がつきます。あとで極限を書いて確かめる、という順序でも足ります。

$x \to \infty lim \frac{x ^{10}}{e ^{x}}$ の値はどれか。

$\infty$
$0$
$1$

__RESULT__

指数関数は、どんな次数の多項式よりも速く増えます。分母が勝つので比は $0$ に近づきます。 $x^{10}$ の $10$ が大きくても結論は変わりません。

押さえるところ

順位は対数、多項式、指数。右にあるほど強い。

\frac{x ^{p}}{e ^{x}} \to 0

と

\frac{lo g x}{x ^{p}} \to 0

が基本形です。

高校では、不等式ではさんで示します。

a^{b}

と

b^{a}

の比較は

\frac{lo g x}{x}

の大小に直します。

その関数は

x = e

で最大。左右で同じ高さを通る組が

2

と

4

です。

大小比較の問題は、たいてい $\frac{lo g x}{x}$ か $\frac{x}{e ^{x}}$ のどちらかに帰着します。形を覚えておくと、方針で迷いません。

参考文献

L'Hôpital's Rule - Calculus Volume 1, OpenStax

Eulersche Zahl - Wikipedia（ドイツ語）

Limits at Infinity and Asymptotes - Calculus Volume 1, OpenStax

視野を広げていくと、$e^x$ だけが立ち上がり $x^2$ はつぶれ、対数はほとんど平らになります。高校の範囲では $e^x > x^2/2$ ではさんで示せる。$a^b$ と $b^a$ の大小は $\log x / x$ の高さ比べに直り、$x=e$ が山だから $e^\pi > \pi^e$。同じ高さを 2 度通る整数の組が $2$ と $4$ だけ、という話までつながります。