媒介変数で表された関数の微分はなぜ割り算になるのか

$x$ と $y$ が、どちらも $t$ の式で与えられることがあります。円なら $x=\cos t$、$y=\sin t$ という書き方。

このとき接線の傾きは、$t$ で微分したもの同士の割り算で出ます^[1]。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

$y$ を $x$ の式に直す必要はありません。直せない曲線でも、この形なら傾きが求まる。

円が転がるとき、周上の $1$ 点が描く曲線がサイクロイドです。$x=a(t-\sin t)$、$y=a(1-\cos t)$ と表せます。

なぜ割り算になるのか

$y$ は $t$ を通して $x$ とつながっています。合成関数の微分をたどると、割り算の形が出ます^[2]。

$$\frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}$$

両辺を $\frac{dx}{dt}$ で割れば公式になります。分数の見立てがそのまま働くところが、ライプニッツの記号の強みです。

割るのだから $\frac{dx}{dt}\ne 0$ が要ります。この条件が崩れる点では、接線が縦を向くか、曲線がとがる。

例：円の接線を求める

$x=\cos t$、$y=\sin t$ とします。それぞれ $t$ で微分します。

$$\frac{dx}{dt}=-\sin t,\frac{dy}{dt}=\cos t$$

割ると $\frac{dy}{dx}=-\frac{\cos t}{\sin t}$ です。$x=\cos t$、$y=\sin t$ を戻すと $-\frac{x}{y}$ となり、陰関数の微分で求めた形と一致します^[3]。

$t=\frac{\pi }{6}$ なら傾きは $-\sqrt{3}$。接点は $\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ です。

$t$ が少し進むと、点は横に $\frac{dx}{dt}$、縦に $\frac{dy}{dt}$ だけずれます。この $2$ つの比が、そのまま接線の傾き。

例：サイクロイドの傾き

$x=a(t-\sin t)$、$y=a(1-\cos t)$ を $t$ で微分します。

$$\frac{dx}{dt}=a(1-\cos t),\frac{dy}{dt}=a\sin t$$

割ると $\frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$ です。半角の公式を使えば $\frac{1}{\tan (t/2)}$ とも書けます。

$t=\pi$ のとき傾きは $0$ で、山の頂上。$t\to 0$ では分母が $0$ に近づき、傾きが限りなく大きくなります。

地面に触れる瞬間、曲線はとがった形になります。$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ が同時に $0$ になる点だからです。

例：$t$ を消せる場合

$x=t^2$、$y=t^3$ とします。傾きは $\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2}$。

この曲線は $y^2=x^3$ と書き直せます。陰関数の微分でも $\frac{dy}{dx}=\frac{3x^2}{2y}$ が出て、$t$ を戻せば同じ式。

$t$ を消せるなら、どちらの道を通っても同じ答えに着きます。消せないときに媒介変数の形が効いてきます。

接線が水平になる点、垂直になる点

分子と分母のどちらが $0$ になるかで、接線の向きが決まります。

両方が同時に $0$ になる点は、別に調べます。サイクロイドの $t=0$ がその場合で、曲線がとがっている。

さきほどの $x=t^2+1$、$y=t^3-3t$ なら、$\frac{dy}{dt}=3(t^2-1)$ から $t=\pm 1$ で水平。$\frac{dx}{dt}=2t$ から $t=0$ で垂直です。

第 2 次導関数は割り方に注意

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ を求めるとき、$\frac{dy}{dt}$ を $2$ 回微分して割る、という手は使えません。

正しい手順は、$\frac{dy}{dx}$ をもう一度 $t$ で微分し、それを $\frac{dx}{dt}$ で割ることです。

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}$$

$x=t^2$、$y=t^3$ で試します。$\frac{dy}{dx}=\frac{3t}{2}$ を $t$ で微分すると $\frac{3}{2}$、これを $2t$ で割って $\frac{3}{4t}$。

$x$ で微分するという操作を、$t$ で微分してから $\frac{dx}{dt}$ で割る操作に置きかえている。$1$ 階のときと同じ考え方です。

上の問題は分子と分母のどちらが $0$ かをとり違えやすい形。$t$ を代入したあと、必ず両方の値を並べて確かめます。

媒介変数を使う理由

物理の運動を扱うときは、この書き方が自然です。位置を時刻の式で書けば、微分がそのまま速度になります。

参考文献