不等式がいつでも成り立つ条件？最小値の符号で決まる話

「すべての $x$ で $f(x)\ge 0$」は、「$f$ の最小値が $0$ 以上」と同じことです。

条件の言い換えができれば、あとは増減表を書くだけ。最小値を計算し、その符号を条件にします^[1]。

$a$ を下げていくと、谷が $x$ 軸を割ります。ちょうど触れるところが境目です。

例：4 次式で条件を出す

すべての実数 $x$ で $x^4-4x+a\ge 0$ となる $a$ の範囲を求めます。

$$f^{\prime }(x)=4x^3-4=4(x-1)(x^2+x+1)$$

$x^2+x+1$ はつねに正なので、符号は $x-1$ で決まります。$x=1$ で最小です。

$$f(1)=1-4+a=a-3$$

条件は $a-3\ge 0$、つまり $a\ge 3$。最小値だけを見れば足ります。

定数分離という手

文字が $1$ か所にまとまるなら、片側へ寄せると見通しがよくなります^[2]。

$x>0$ で $e^x\ge ax$ を考えます。両辺を $x$ で割ります。

$$a\le \frac{e^x}{x}$$

右辺の最小値以下であれば、すべての $x$ で成り立ちます。最小値を求めます。

$${\left(\frac{e^x}{x}\right)}^{\prime }=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$$

$x=1$ で最小、値は $e$ です。答えは $a\le e$。

水平線 $y=a$ が破線より下にあれば、曲線をどこでも下回ります。境目が最小値の $e$ です。

例：向きが逆の場合

$x>0$ で $\log x\le ax$ となる $a$ の範囲を求めます。同じように割ります。

$$a\ge \frac{\log x}{x}$$

今度は右辺の最大値以上であれば足ります。この関数は $x=e$ で最大、値は $\frac{1}{e}$。

答えは $a\ge \frac{1}{e}$ です。不等号の向きが変わると、見るべきものが最小値から最大値に替わります。

定数分離が使えないとき

文字が $2$ か所以上に現れる場合や、割ると符号が変わる場合は使えません。そのときは差の関数のまま調べます。

$x$ の符号が定まらない区間で両辺を $x$ で割ると、不等号の向きが変わってしまう。割る前に符号を確かめます。

差の関数で進める場合、最小値に文字が残ります。その最小値の符号を条件にする、という手順は変わりません。

端の扱い

閉区間なら端の値も候補です。開区間なら極限を調べます^[3]。

$x>0$ の条件で、$x\to +0$ の様子を確かめずに済ませると誤ります。そこで値が下がっていれば、最小値は内部にありません。

$\frac{e^x}{x}$ は $x\to +0$ で $+\infty$、$x\to \infty$ でも $+\infty$。だから内部の極小が最小になります。

手順をそろえる

不等号が $\ge$ か $>$ かで、等号を含むかが変わります。最小値がちょうど $0$ になる場合の扱いを、最後に確かめます。

押さえるところ

条件の言い換えができた時点で、問題は増減表の計算に変わります。むずかしいのは、言い換えの一歩目だけです。

参考文献