グラフの概形はどう描くか？漸近線と増減と凹凸をつなぐ

グラフが限りなく近づいていく直線を漸近線といいます。近づくだけで、交わるとは限りません。

種類は $3$ つです^[1]。どこへ近づくかで呼び分けます。

分数関数では、分母が $0$ になる点が垂直漸近線の候補です。分子も同時に $0$ なら、約分できて漸近線にならない場合もあります。

斜め漸近線の求め方

$2$ つの極限を順に計算します^[2]。傾きを先に出し、次に切片。

$$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to \infty }{\lim }\{f(x)-ax\}$$

分数関数なら、割り算をしてしまうほうが速い^[1]。分子を分母で割り、商と余りに分けます。

$$\frac{x^2}{x-1}=x+1+\frac{1}{x-1}$$

$x\to \pm \infty$ で最後の項は $0$ に近づきます。残る $x+1$ が斜め漸近線です。

垂直な $x=1$ と、斜めの $y=x+1$。この $2$ 本を先に引いてしまうと、曲線の居場所がほぼ決まります。

例：概形をかく手順

$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ で、最初から最後までたどります^[1]。

極大値が $0$、極小値が $4$ です。極小のほうが大きいのは、定義域が $x=1$ で切れているためです。

変曲点はありません。$f^{\prime \prime }(x)$ は $0$ にならず、符号が変わるのは定義域の外だけ。

漸近線への近づき方

差の項 $\frac{1}{x-1}$ が、そのままずれの大きさです。$x$ が大きくなるほど、この値は小さくなります。

赤い縦線が、曲線と直線のへだたりです。右へ進むほど短くなりますが、$0$ にはなりません。

例：$y=x+\frac{1}{x}$

$\frac{x^2+1}{x}$ を割ると、この形になります。斜め漸近線は $y=x$、垂直漸近線は $y$ 軸。

$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}$ から、$x=\pm 1$ が候補です。$x=1$ で極小値 $2$、$x=-1$ で極大値 $-2$。

$f^{\prime \prime }(x)=\frac{2}{x^3}$ なので、$x>0$ で下に凸、$x<0$ で上に凸です。原点について対称な形になります。

例：水平漸近線を持つ形

$f(x)=x{e}^{-x}$ を調べます。$x\to \infty$ では指数の減り方が勝ち、$f(x)\to 0$。

$$f^{\prime }(x)=(1-x)e^{-x},f^{\prime \prime }(x)=(x-2)e^{-x}$$

$x=1$ で極大値 $\frac{1}{e}$、$x=2$ が変曲点です。$x\to -\infty$ では負の側へ限りなく落ちます。

山を越えたあと、グラフは $x$ 軸に貼りつくように下がります。極大と変曲点の位置が近いので、頂上のすぐ右で曲がり方が変わる。

手順をまとめる

概形をかく手順は $6$ つです^[1]。上から順に埋めていきます。

漸近線を先に引くのがこつです。曲線の通り道が限られるので、あとの増減と凹凸が図の上で確かめられます。

つまずきやすいところ

漸近線、増減、凹凸。この $3$ つがそろえば、細かい値を計算しなくてもグラフの姿は決まります。

参考文献