極値をもつ条件と、そこから係数を決める……3 次関数の定番

$3$ 次関数が極値をもつかどうかは、導関数の $2$ 次方程式が異なる $2$ 実数解をもつかで決まります^[1]。

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ なら $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$ です。判別式を $4$ で割った値を使います。

$$a^2-3b>0$$

$2$ 解が異なれば、その前後で $f^{\prime }$ の符号が変わります。極大と極小が $1$ つずつ現れる形。

$a$ が正のあいだは山と谷があり、$0$ 以下になると消えます。$f^{\prime }(x)=3x^2-3a$ が実数解をもつかどうかの境目です。

例：極値をもつ範囲を求める

$f(x)=x^3+a{x}^2+3x+1$ が極値をもつ $a$ の範囲を求めます。

$$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+3$$

判別式を $4$ で割ると $a^2-9$ です。これが正になる条件を書きます。

$$a^2-9>0,a<-3\text{または}a>3$$

$a=\pm 3$ のときは重解になり、$f^{\prime }$ の符号が変わりません。接するだけで、極値にはならない^[1]。

例：分数関数の場合

$f(x)=x+\frac{a}{x}$ が極値をもつ $a$ の範囲を調べます。定義域は $x\ne 0$。

$$f^{\prime }(x)=1-\frac{a}{x^2}=\frac{x^2-a}{x^2}$$

分母は正なので、符号は $x^2-a$ で決まります。$a>0$ なら $x=\pm \sqrt{a}$ の前後で符号が変わる。

$a\le 0$ のときは $f^{\prime }(x)>0$ が続き、極値をもちません。$3$ 次関数と同じ考え方で、分子の符号だけを見ています。

極値から係数を決める

「$x=1$ で極大値 $4$」のような条件から係数を求める問題があります。書く式は $2$ 種類です。

$f^{\prime }(1)=0$ は必要条件にすぎません^[1]。係数を出したあと、本当に極値になっているかを増減表で確かめます。

例：4 つの条件から決める

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ が $x=1$ で極大値 $4$、$x=3$ で極小値 $0$ をとるとします。

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$ に $2$ つの点を入れます。

$$3+2a+b=0,27+6a+b=0$$

引き算すると $24+4a=0$ で $a=-6$、戻して $b=9$ です。

$f(1)=1-6+9+c=4$ から $c=0$。求める関数は $f(x)=x^3-6x^2+9x$ になります。

$f(3)=27-54+27=0$ も合っています。条件が $1$ つ余るので、検算に使えます。

決まった関数を描くと、条件がそのまま図に出ています。$x=1$ で高さ $4$、$x=3$ で $x$ 軸に接する形。

十分性の確認が要る理由

$f^{\prime }(a)=0$ を満たしても、そこが極値とは限りません^[2]。$f(x)=x^3$ の原点がその反例です。

係数を求めたあと、増減表を書いて符号の変化を確かめます。書かずに答えると、条件を満たさない解を混ぜてしまう。

$f^{\prime \prime }(a)$ の符号で判定する道もあります。正なら極小、負なら極大。$0$ のときは判定できないので、増減表に戻ります^[3]。

極値が存在しない形

$3$ 次関数で極値がないのは、$f^{\prime }$ がつねに同じ符号のときです。単調に増えるか、単調に減るか。

$f(x)=x^3+x$ がその例で、$f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$。どこでも増え続けます。

$f^{\prime }(x)=0$ が重解をもつ場合も同じです。$f(x)=x^3$ では $f^{\prime }(0)=0$ ですが、両側とも正のまま。

答案の形をそろえる

必要条件で候補を絞り、十分性で確かめる。この $2$ 段構えは、係数決定の問題すべてに共通する形です。

参考文献