4 次関数のグラフと複接線……2 点で同時に触れる直線を探す

$4$ 次関数のグラフには、$\mathrm{W}$ の形と $\mathrm{U}$ の形があります^[1]。導関数が $3$ 次式なので、極値は最大 $3$ つ。

$$y^{\prime }=4a{x}^3+3b{x}^2+2cx+d$$

$3$ 次方程式の実数解の個数が、そのまま極値の数になります。

$a$ が負のあいだは谷が $2$ つあり、$\mathrm{W}$ の形。正になると谷が $1$ つにまとまります。

境目は $a=0$ です。$y^{\prime }=4x^3+2ax=2x(2x^2+a)$ が、$3$ 個の解をもつか $1$ 個かで分かれます。

複接線

$2$ 点で同時に接する直線を、複接線といいます。$4$ 次関数には、この直線が現れることがあります。

$3$ 次関数では起こりません。接線と曲線の交点を求める式が $3$ 次で、重解を $2$ つ作る余地がないためです。

$4$ 次なら $4$ 次式になり、$2$ 乗が $2$ つ並ぶ形にできます。次数の違いが効いています。

例：複接線を求める

$y=x^4-4x^2$ と直線 $y=mx+n$ が $2$ 点で接する条件を書きます。

差が $2$ つの重解をもつので、次の形に因数分解できます。

$$x^4-4x^2-mx-n=(x-\alpha {)}^2(x-\beta {)}^2$$

右辺を展開すると $x^3$ の係数は $-2(\alpha +\beta )$。左辺には $x^3$ の項がないので $\beta =-\alpha$ です。

$$(x^2-{\alpha }^2{)}^2=x^4-2{\alpha }^2{x}^2+{\alpha }^4$$

係数を比べます。$-4=-2{\alpha }^2$ から ${\alpha }^2=2$、$x$ の係数から $m=0$、定数から $n=-{\alpha }^4=-4$。

複接線は $y=-4$ です。接点は $x=\pm \sqrt{2}$ で、$2$ つの極小点にあたります。

青い直線が $2$ 点で触れています。赤い点は変曲点で、$2$ つあります。

この例では複接線が水平でした。$3$ 次の項や $1$ 次の項があると、傾いた複接線になります。

変曲点は 2 つか 0 個

$y^{\prime \prime }=12a{x}^2+6bx+2c$ は $2$ 次式です。判別式が正なら $2$ つ、負なら $0$ 個^[1]。

$\mathrm{W}$ の形では、$2$ つの谷のあいだに変曲点が $2$ つ並びます。山から谷へ移るところで、曲がり方が変わるためです。

$\mathrm{U}$ の形でも変曲点をもつことがあります。極値の数と変曲点の数は、別々に決まります。

例：増減表を書く

$y=x^4-2x^2$ を調べます。$y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$。

$x=-1$ と $x=1$ で極小、$x=0$ で極大です。値はそれぞれ $-1$、$-1$、$0$。

$y^{\prime \prime }=12x^2-4$ から、変曲点は $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$。偶関数なので、$y$ 軸について対称な形になります。

複接線は $y=-1$ です。$2$ つの極小点を通る水平な直線が、そのまま複接線になります^[2]。

偶関数の場合

$y=a{x}^4+c{x}^2+e$ のように偶数次だけなら、$y$ 軸について対称です。

$2$ つの極小の値が等しくなるので、複接線は水平になります。計算も短く済む。

奇数次の項が入ると対称性が崩れ、$2$ つの谷の深さが変わります。それでも複接線は引けますが、傾いた直線になる。

複接線の求め方をそろえる

接線を $2$ 本立てて連立する方法もありますが、重解の形に置くほうが計算が短い。$4$ 次式の因数分解として扱えます^[3]。

押さえるところ

$3$ 次関数にはない現象なので、$4$ 次特有の問題として出ます。重解を $2$ つ作る、という発想を覚えておくと手が動きます。

参考文献