3 次関数のグラフは変曲点について点対称になる性質

$3$ 次関数のグラフは、変曲点を中心に $180$ 度回すと、もとの形にぴったり重なります^[1]。

変曲点の位置は決まっています。$f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ なら $f^{\prime \prime }(x)=6ax+2b$ なので、$x=-\frac{b}{3a}$。

青い曲線が回っていきます。$180$ 度でもとの黒い曲線に重なる。

回転の中心は変曲点です。ほかの点を中心にしても、重なりません。

なぜ重なるのか

変曲点が原点に来るように、平行移動します。$x$ を $x+\frac{b}{3a}$ に置きかえる作業です。

移した式には $2$ 次の項が消え、次の形になります。

$$y=a{x}^3+px$$

奇数次の項だけが残りました。この形は $f(-x)=-f(x)$ を満たすので、原点について点対称です^[1]。

もとの位置へ戻せば、変曲点についての対称になります。$2$ 次の項が消えることが、対称性の正体でした。

極値の中点も変曲点

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ の $2$ 解が、極大と極小の位置です。解と係数の関係から和が分かります。

$$x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}$$

中点は $-\frac{b}{3a}$。変曲点の $x$ 座標と一致します^[2]。

$y$ 座標のほうも同じです。極大値と極小値の平均が、変曲点の $y$ 座標になります。対称性から出る結果です。

$2$ つの青い点を結ぶと、真ん中が赤い点。破線の中点が変曲点になっています。

接線が曲線と再び交わる点

変曲点が原点にある形 $y=x^3+px$ で考えます。$x=t$ での接線を書きます。

$$y=(3t^2+p)x-2t^3$$

曲線との交点を求めます。連立して整理すると、きれいな因数分解になります。

$$x^3-3t^{2}x+2t^3=(x-t{)}^2(x+2t)=0$$

$x=t$ が重解で、もう $1$ つの解が $x=-2t$。接点の反対側に、$2$ 倍の距離で交わります。

比が $1$ 対 $2$ で決まっているところが面白い。$t$ の値によらず、いつでもこの比です。

例：接線と曲線の交点を求める

$y=x^3-3x$ の $x=1$ での接線を考えます。$y^{\prime }=3x^2-3$ から傾きは $0$。

接線は $y=-2$ です。曲線と連立します。

$$x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)=0$$

$x=-2$ で交わります。$-2\times 1=-2$ で、公式どおりの位置です。

極値をもつかどうか

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx+c$ の判別式で決まります^[1]。

$3$ 次関数のグラフは、平行移動と拡大縮小を除けば $3$ 種類しかありません^[1]。$\mathrm{S}$ 字、水平な接線を $1$ つもつ形、単調な形です。

押さえるところ

対称性を知っていると、計算せずに答えが出る場面があります。極値の一方から他方を出す、といった使い方ができます^[3]。

参考文献