第 n 次導関数を帰納法で決める｜三角関数と分数関数の型

$n$ 回微分した式を求めるとき、いきなり一般形は出ません。何回か手で計算し、規則を見つけ、帰納法で確かめます^[1]。

$f (x) = \frac{1}{x}$ で試します。 $x^{- 1}$ と書き直して、順に微分していきます。

$f^{'} (x) = - x^{- 2}, f^{''} (x) = 2 x^{- 3}, f^{(3)} (x) = - 6 x^{- 4}$

符号が交互に変わり、係数が $1, 2, 6$ と増えます。これは階乗の並びです。

微分するたびに、曲線が軸をまたいで反転します。値の大きさも急に増えていく。

一般形を予想する

$3$ つの特徴を式にまとめます。符号は $(- 1)^{n}$ 、係数は $n!$ 、指数は $- (n + 1)$ 。

$(\frac{1}{x})^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n} \cdot n !}{x ^{n + 1}}$

$n = 0$ のときも $\frac{1}{x}$ となり、つじつまが合います。 $0! = 1$ とする約束が効いています。

帰納法で確かめる

予想は予想のままでは答案になりません。数学的帰納法で $2$ 段階に分けて示します。

$n = 1$ のとき、右辺は $- \frac{1}{x ^{2}}$ です。実際の計算と一致します。

$n = k$ で成り立つとします。両辺をもう一度微分します。

$(\frac{( - 1 ) ^{k} k !}{x ^{k + 1}})^{'} = (- 1)^{k} k! \cdot {- (k + 1)} x^{- k - 2} = \frac{( - 1 ) ^{k + 1} ( k + 1 )!}{x ^{k + 2}}$

$n = k + 1$ の形になりました。指数から出てきた $- (k + 1)$ が、符号と階乗の両方を進めています。

例：対数関数の n 階

$lo g x$ は $1$ 回微分すると $\frac{1}{x}$ です。あとは前の結果を $1$ つずらすだけ。

$(lo g x)^{(n)} = \frac{( - 1 ) ^{n - 1} ( n - 1 )!}{x ^{n}}$

$n = 1$ で $\frac{1}{x}$ 、 $n = 2$ で $- \frac{1}{x ^{2}}$ 。符号の指数が $n - 1$ になるところが、 $\frac{1}{x}$ との違いです。

例：三角関数の n 階

$sin x$ は $4$ 回で元に戻ります^[2]。角を進める形に書くと、 $n$ を場合分けせずに済みます。

$(sin x)^{(n)} = sin (x + \frac{nπ}{2})$

$cos$ も同じ形です。 $(cos x)^{(n)} = cos (x + \frac{nπ}{2})$ となります。

$4$ で割った余りによる場合分けでも書けますが、 $4$ 通り並べることになります。角を進める書き方のほうが短い。

例：積の形が残る場合

$f (x) = x e^{x}$ を微分していきます。積の公式を使います。

$f^{'} (x) = (x + 1) e^{x}, f^{''} (x) = (x + 2) e^{x}$

$e^{x}$ が残り、括弧の中の定数だけが $1$ ずつ増えます。予想は次のとおり。

$f^{(n)} (x) = (x + n) e^{x}$

帰納法で確かめます。 $(x + k) e^{x}$ を微分すると $e^{x} + (x + k) e^{x} = (x + k + 1) e^{x}$ 。これで $n = k + 1$ の形。

$f (x) = \frac{1}{x + 1}$ の第 $n$ 次導関数はどれか。

$\frac{n !}{( x + 1 ) ^{n + 1}}$
$\frac{( - 1 ) ^{n} n !}{( x + 1 ) ^{n + 1}}$
$\frac{( - 1 ) ^{n - 1} ( n - 1 )!}{( x + 1 ) ^{n}}$

__RESULT__

$\frac{1}{x}$ の結果で $x$ を $x + 1$ に替えた形です。内側の微分が $1$ なので、合成関数による余分な係数は出ません。

漸化式で表す形

一般形が書けないときは、 $f^{(n)}$ と $f^{(n + 1)}$ の関係だけを出します。

$f (x) = x^{2} e^{x}$ で試します。順に微分すると、 $e^{x}$ の前に $2$ 次式が残る形が続きます。

$f^{(n)} (x) = {x^{2} + 2 n x + n (n - 1)} e^{x}$

$n = 1$ で $(x^{2} + 2 x) e^{x}$ 、 $n = 2$ で $(x^{2} + 4 x + 2) e^{x}$ 。どちらも手の計算と合います。

係数だけを数列と見れば、漸化式が立ちます。 $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ のような形に落として解く問題も出ます。

$3$ 回ぶん並べると、変わっているところが $1$ か所だと分かります。予想を立てる作業は、この見比べです。

帰納法の書き方

答案では $3$ つを順に書きます。省くと減点されます。

n = 1

のとき成り立つことを、実際の計算で示します。

n = k

で成り立つと仮定します。

仮定した式を微分し、

n = k + 1

の形になることを示します。

微分の帰納法では、 $3$ 番目が計算そのものです。仮定の式を微分するだけで、次の形が出てくる。

$f (x) = sin x$ について、 $f^{(10)} (x)$ はどれか。

$sin x$
$- sin x$
$cos x$

__RESULT__

$10$ を $4$ で割ると余りが $2$ です。 $sin \to cos \to - sin$ と $2$ 回進んだ位置なので $- sin x$ 。角を進める式でも $sin (x + 5 π) = - sin x$ となります。

よく出る形をそろえる

\frac{1}{x}

の

n

階は

\frac{( - 1 ) ^{n} n !}{x ^{n + 1}}

^[3]。

lo g x

の

n

階は

\frac{( - 1 ) ^{n - 1} ( n - 1 )!}{x ^{n}}

。

sin x

の

n

階は

sin (x + \frac{nπ}{2})

。

e^{a x}

の

n

階は

a^{n} e^{a x}

。

x e^{x}

の

n

階は

(x + n) e^{x}

。

符号が交互に変わるか、階乗が出るか、角が進むか。この $3$ つの型を知っていれば、たいていの問題は予想が立ちます。

参考文献

The Derivative as a Function - Calculus Volume 1, OpenStax

Derivatives of Trigonometric Functions - Calculus Volume 1, OpenStax

Dérivées usuelles - Wikipédia（フランス語）

$1/x$ を順に微分すると、符号が交互に変わり係数が $1, 2, 6$ と階乗で増えます。何回か手で計算して規則を見つけ、$(-1)^n n!/x^{n+1}$ と予想し、帰納法で確かめる流れをたどります。$\log x$、$\sin x$、$xe^x$ の型も並べました。一般形が書けないときは $f^{(n)}$ と $f^{(n+1)}$ の漸化式に落とす。答案で省けない 3 段の書き方も示します。