無理関数のグラフ｜半円と横向きの放物線を見分ける

根号の中に $x$ が入った関数を、無理関数といいます。$y=\sqrt{ax+b}$ と $y=\sqrt{r^2-x^2}$ では、形がまったく違います。

見分け方は、両辺を $2$ 乗してみることです。ただし $y\ge 0$ という条件が付きます。

左は横向きの放物線の上半分、右は半円です。どちらも $2$ 乗すると、上下対称な曲線に戻ります。

薄い線は捨てたほうの半分。根号は正の値だけを返すので、上側だけが残ります。

2 乗して形を見る

$y=\sqrt{x}$ の両辺を $2$ 乗すると $y^2=x$ です。$x$ と $y$ を入れかえれば $y=x^2$。

つまり放物線を横に倒した形になります。定義域は $x\ge 0$、値域は $y\ge 0$。

$y=\sqrt{4-x^2}$ なら $y^2=4-x^2$、つまり $x^2+y^2=4$。半径 $2$ の円の上半分です。

$2$ 乗する操作は、情報を捨てます。戻すときに $y\ge 0$ を書き添えないと、要らない半分が混ざる。

微分と端の様子

$y=\sqrt{x}$ の導関数は $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ でした^[1]。$x\to +0$ で発散します。

原点では接線が縦を向きます。定義域の端で、微分できない点になる。

$y=\sqrt{4-x^2}$ でも同じことが起こります。合成関数の微分で計算します。

$$y^{\prime }=\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$$

$x\to \pm 2$ で分母が $0$ に近づき、傾きが発散します。円の左右の端で、接線が縦を向く形です。

左右の端で接線が縦、頂上で横。$y^{\prime }=\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}$ の分子と分母が、それぞれの様子を決めています。

例：積の形を調べる

$y=x\sqrt{1-x^2}$ を扱います。定義域は $-1\le x\le 1$。

積の微分と合成の微分を組み合わせます。

$$y^{\prime }=\sqrt{1-x^2}+x\cdot \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}$$

分母は正なので、符号は分子で決まります。$x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ が極値の位置です。

$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ で極大、値は $\frac{1}{2}$。原点について対称な形になります。

両端の $x=\pm 1$ では、接線が縦を向きます。無理関数では、端の様子を必ず確かめます。

例：漸近線をもつ形

$y=\sqrt{x^2+1}$ は、双曲線の上半分です。$y^2-x^2=1$ と書き直せます。

$$y^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$

$x\to \infty$ で $y^{\prime }\to 1$、$x\to -\infty$ で $-1$。漸近線は $y=x$ と $y=-x$ になります^[2]。

$\sqrt{x^2+1}-x$ の極限を計算すると $0$ です。有理化すると $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$ になり、$0$ に近づきます。

定義域を先に決める

根号の中が $0$ 以上、という条件から定義域が出ます。ここを飛ばすと、あとの計算がすべて無駄になる。

$y=\sqrt{x^2-4}$ なら $x\le -2$ または $x\ge 2$。$2$ つの区間に分かれます。

分母に根号があるときは、$0$ を除きます。$y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ の定義域は $-1<x<1$ で、端を含みません。

押さえるところ

根号を見たら、まず $2$ 乗と定義域。この $2$ つを先に済ませると、あとは増減表の作業になります。

参考文献