第 2 次導関数と n 次導関数〜微分を繰り返すと見えてくるもの

導関数 $f^{'} (x)$ をもう一度微分したものが、第 2 次導関数 $f^{''} (x)$ です。

$f^{''} (x) = {f^{'} (x)}^{'}, y^{''} = \frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$

$1$ 回目の微分が変化の速さなら、 $2$ 回目はその速さの変わり方。位置を $2$ 回微分すると加速度になる、という関係がいちばん分かりやすい例です^[1]。

速度が $0$ になる $t = 2$ と $t = 4$ で、点は向きを変えます^[1]。加速度は $6 t - 18$ なので、 $t = 3$ を境に符号が入れかわる。

記号の書き方

第 2 次導関数には $3$ つの書き方があります。どれも同じものを指します。

プライムを重ねる書き方。

f^{''} (x)

、

y^{''}

と書きます。

ライプニッツの記号。

\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}

、

\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} f (x)

と書きます。

3

階以上は数字で示します。

f^{(3)} (x)

、

f^{(n)} (x)

の形です。

$4$ 階を $f^{''''} (x)$ と書くと数えにくいので、 $3$ 階あたりから $f^{(3)} (x)$ に切りかえるのがふつうです。

例：多項式を繰り返し微分する

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 5 x$ を順に微分します。次数が $1$ つずつ下がっていく。

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 5, f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 x$

さらに続けると $f^{(3)} (x) = 24 x - 12$ 、 $f^{(4)} (x) = 24$ 、 $f^{(5)} (x) = 0$ です。

$n$ 次の多項式は $n$ 回で定数になり、 $n + 1$ 回で $0$ になります。多項式が扱いやすいのは、この打ち止めがあるためです。

例：4 回で戻る三角関数

$sin x$ は微分するたびに姿を変え、 $4$ 回で元に戻ります。

$(sin x)^{(n)} = sin (x + \frac{nπ}{2})$

角を $\frac{π}{2}$ ずつ進める式です。 $n$ が $4$ 増えると角が $2 π$ 進み、値が変わりません。

グラフは微分のたびに左へ $\frac{π}{2}$ だけずれます。 $4$ 枚目の次は、 $1$ 枚目と重なる。

例：指数関数と対数関数の n 階

$e^{x}$ は何回微分しても $e^{x}$ です。 $n$ 階でも形が変わりません。

対数はそうはいきません。 $lo g x$ を $1$ 回微分すると $x^{- 1}$ になり、そこからはべきの微分が続きます。

$(lo g x)^{''} = - \frac{1}{x ^{2}}, (lo g x)^{(3)} = \frac{2}{x ^{3}}$

一般には $(lo g x)^{(n)} = (- 1)^{n - 1} \frac{( n - 1 )!}{x ^{n}}$ です。符号が交互に変わり、階乗が分子に出てきます。

$f (x) = x^{3} e^{x}$ の $f^{''} (x)$ はどれか。

$f^{''} (x) = 6 x e^{x}$
$f^{''} (x) = (x^{3} + 6 x^{2} + 6 x) e^{x}$
$f^{''} (x) = (x^{3} + 3 x^{2}) e^{x}$

__RESULT__

まず $f^{'} (x) = (3 x^{2} + x^{3}) e^{x}$ です。これをもう一度積の公式で微分すると $(6 x + 3 x^{2}) e^{x} + (3 x^{2} + x^{3}) e^{x}$ となり、まとめて $(x^{3} + 6 x^{2} + 6 x) e^{x}$ になります。

第 2 次導関数はグラフの曲がり方を表す

$f^{''} (x)$ の符号は、グラフがどちら向きに曲がっているかを教えます^[2]。

$f^{''} (x) > 0$ なら下に凸で、接線はグラフの下側を通ります。 $f^{''} (x) < 0$ なら上に凸で、接線は上側。

左は下に凸で、青い接線はどれも曲線の下を通ります。右は上に凸で、接線が曲線の上に出る。

凹凸が入れかわる点が変曲点です^[3]。そこでは $f^{''} (x) = 0$ となり、しかも符号が変わります。

加速度としての読み方

物理では $s (t)$ を位置、 $v (t) = s^{'} (t)$ を速度、 $a (t) = s^{''} (t)$ を加速度と呼びます^[1]。

速さは速度の絶対値です。速度が負でも、速さは正の値になります。

加速度が正なら速度は増え、負なら減ります。速度が負で加速度も負なら、左向きにどんどん速くなる。

$f (x) = lo g x$ のとき、 $f^{''} (x)$ の符号はどれか。

$x > 0$ でつねに正
$x > 0$ でつねに負
$x = 1$ を境に変わる

__RESULT__

$f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ 、 $f^{''} (x) = - \frac{1}{x ^{2}}$ です。 $x^{2} > 0$ なので $f^{''} (x)$ はつねに負で、 $lo g x$ のグラフは全体が上に凸になります。

何回微分するかで分かること

1

回微分すると、増えているか減っているかが分かります。

2

回微分すると、曲がり方と変曲点が分かります。

2

回微分の符号は、極大か極小かの判定にも使えます。

物理では

1

回目が速度、

2

回目が加速度にあたります。

多項式は次数の回数で定数になり、そこで打ち止め。

微分を重ねるほど、グラフの細かい性質が見えてきます。増減だけでは足りないとき、 $2$ 回目の情報が効いてくる。

参考文献

Derivatives as Rates of Change - Calculus Volume 1, OpenStax

Derivatives and the Shape of a Graph - Calculus Volume 1, OpenStax

Point d'inflexion - Wikipédia（フランス語）

$f'$ をもう一度微分した $f''$ は、変化の速さがどう変わるかを表します。位置を 2 回微分すると加速度、という対応で動く点を追いながら確かめます。多項式は次数の回数で定数になり、$\sin x$ は 4 回で元へ戻る。$\log x$ の $n$ 階には階乗と交互の符号が現れます。$f''$ の符号が下に凸と上に凸を分ける様子も、接線つきの図で見えます。