円の伸開線｜巻きつけた糸をほどくと、その先が曲線を描く

円に巻きつけた糸を、ぴんと張ったままほどきます。糸の先が描く道が円の伸開線です^[1]。

$$x=a(\cos \theta +\theta \sin \theta ),y=a(\sin \theta -\theta \cos \theta )$$

$\theta$ は、糸が円から離れる点の角です。ほどいた糸の長さは弧の長さ $a\theta$ に等しく、それが式の中の $\theta$ に現れます。

赤い弧がほどいたぶん、青い直線がぴんと張った糸です。$2$ つの長さはいつでも等しい。

糸は円に接したまま動きます。離れる点が円周を進み、先端が外へ広がっていく形です。

微分すると向きが見える

$\theta$ で微分します。項が打ち消し合って、短い式になります。

$$\begin{array}{rl}\frac{dx}{d\theta }& =a(-\sin \theta +\sin \theta +\theta \cos \theta )=a\theta \cos \theta \\ \frac{dy}{d\theta }& =a(\cos \theta -\cos \theta +\theta \sin \theta )=a\theta \sin \theta \end{array}$$

速度の向きは $(\cos \theta ,\sin \theta )$ です。これは中心から接点へ向かう向きと同じ^[2]。

接線の傾きは割り算で出ます。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{a\theta \sin \theta }{a\theta \cos \theta }=\tan \theta$$

糸と接線は直角に交わる

先端から接点へ向かうベクトルを計算します。

$$a\theta (\sin \theta ,-\cos \theta )$$

速度の向き $(\cos \theta ,\sin \theta )$ との内積は $\sin \theta \cos \theta -\cos \theta \sin \theta =0$ です。

$2$ つは直角に交わります。つまり糸そのものが、伸開線の法線になっている^[3]。

青い糸と赤い接線が直角になっています。糸は円の接線でもあるので、$1$ 本の線が $2$ つの役目を持つ形です。

尖点は 1 か所だけ

$\theta =0$ では $\frac{dx}{d\theta }$ と $\frac{dy}{d\theta }$ が同時に $0$ になります。速度が消えるので、そこが尖点です。

点の位置は $(a,0)$ で、糸をほどきはじめる場所。糸の長さが $0$ の状態にあたります。

$\theta >0$ では $a\theta \ne 0$ なので、速度が $0$ になることはありません。尖点はこの $1$ か所だけです。

曲線の長さ

速さは $\sqrt{(a\theta \cos \theta {)}^2+(a\theta \sin \theta {)}^2}=a\theta$ です。$\theta$ に比例して速くなります。

$0$ から $\theta$ までの長さを積分すると、$\frac{a}{2}{\theta }^2$ になります^[1]。

$\theta$ の $2$ 乗で伸びるので、$1$ 周目より $2$ 周目のほうがずっと長い。ほどくほど糸が長くなるためです。

原点からの距離

先端の位置ベクトルの大きさを計算します。

$$\sqrt{a^2(\cos \theta +\theta \sin \theta {)}^2+a^2(\sin \theta -\theta \cos \theta {)}^2}=a\sqrt{1+{\theta }^2}$$

展開すると交差する項が消え、$1+{\theta }^2$ だけが残ります。

半径 $a$ と糸の長さ $a\theta$ が直角に組み合わさった形です。三平方の定理が、そのまま出ています。

歯車の形に使われる

歯車の歯の形に、この曲線が使われています。かみ合う $2$ 枚の歯車で、接触する点が動いても力の向きが変わらない性質があるためです。

軸の距離が多少ずれても、回転の伝わり方が変わりません。組み立ての誤差に強い形として選ばれています。

糸をほどく話と機械の設計が、同じ曲線でつながっている。媒介変数表示が現実の形を作っている例です。

押さえるところ

計算そのものは短く、打ち消し合いを見届ければ終わります。糸の絵を思い浮かべながら式を追うと、どの項が何を表しているかが見えてきます。

参考文献