1 次分数関数のグラフが「反比例の平行移動」になる理由

$\frac{ax+b}{cx+d}$ の形を $1$ 次分数関数といいます^[1]。分子と分母がどちらも $1$ 次式です。

割り算をすると、正体が見えます。分子を分母で割り、商と余りに分けます。

$$\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{\alpha }{x-\beta }+\gamma$$

$y=\frac{1}{x}$ を縦横に伸ばし、平行移動しただけの形です。反比例のグラフが土台になっています。

曲線の形はまったく変わりません。横へ、そして縦へ、位置だけがずれていきます。

破線が漸近線です。移動と一緒に動き、交点が曲線の中心になります。

例：割り算で形を出す

$y=\frac{2x+1}{x-1}$ を変形します。分子を分母で割ります。

$$\frac{2x+1}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$$

$y=\frac{3}{x}$ を、横に $1$、縦に $2$ ずらした形です。漸近線は $x=1$ と $y=2$。

分子に分母の倍数を作る、という変形です。$2x+1$ から $2(x-1)$ を作り、余りを足す。

漸近線と対称の中心

一般形での漸近線は、係数から直接読めます^[1]。

$$x=-\frac{d}{c},y=\frac{a}{c}$$

縦の漸近線は分母が $0$ になる位置、横の漸近線は $x\to \pm \infty$ での行き先です^[2]。

$2$ 本の交点が、グラフの対称の中心になります。その点について $180$ 度回すと、もとの形に重なる^[1]。

青い点が中心です。曲線は $2$ 本の破線にはさまれ、その交点について対称になっています。

微分すると符号が決まる

商の微分で計算します。分子がきれいにまとまります^[1]。

$$y^{\prime }=\frac{a(cx+d)-c(ax+b)}{(cx+d{)}^2}=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}$$

分母は $2$ 乗なので、符号は $ad-bc$ だけで決まります。$x$ に依存しません。

$ad-bc>0$ なら、定義域のどの区間でも増加。負なら、どこでも減少します。

例：符号を確かめる

$y=\frac{2x+1}{x-1}$ で計算します。$a=2$、$b=1$、$c=1$、$d=-1$。

$$ad-bc=2\times (-1)-1\times 1=-3$$

負なので、この関数は減少です。変形した $2+\frac{3}{x-1}$ を微分しても $-\frac{3}{(x-1{)}^2}$ となり、同じ結果になります。

$ad-bc=0$ のときは、分子と分母が比例します。約分すると定数になり、分数関数ではなくなる^[1]。

極値がない

$y^{\prime }$ は $0$ になりません。分子が定数だからです。したがって極大も極小も現れません。

グラフは $2$ つの部分に分かれ、それぞれで単調に増えるか減るかします。$1$ つの区間の中で向きが変わることはない。

「全体で単調」とは言えません。$x=-\frac{d}{c}$ で切れているので、区間ごとに考えます^[3]。

定義域と値域

定義域は $x\ne -\frac{d}{c}$。値域は $y\ne \frac{a}{c}$ になります。

横の漸近線の高さには、決して届きません。近づくだけです。

逆関数を作ると、また $1$ 次分数関数になります。$x$ と $y$ を入れかえて解くだけで、同じ形が出てきます。

押さえるところ

反比例のグラフを動かしただけ、と分かれば、増減も漸近線も暗算で出ます。まず割り算をする、という一手が要になります。

参考文献