「どこかで平均と一致する」平均値の定理とロルの定理

区間の両端を結ぶ直線と、同じ傾きの接線が、途中に必ずあります。これが平均値の定理です^[1]。

$f$ が $[a,b]$ で連続、$(a,b)$ で微分できるとき、次を満たす $c$ が少なくとも $1$ つ存在します。

$$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

右辺は区間全体の平均変化率です。どこかの $1$ 点で、瞬間の変化率がその平均に一致する^[2]。

接点を左から右へ動かすと、傾きが灰色の直線と一致する瞬間が来ます。この曲線では $2$ 回そろう。

定理が言うのは「少なくとも $1$ つある」ということだけです。$2$ つでも $3$ つでも、主張と矛盾しません。

ロルの定理

両端の値が等しい場合が、ロルの定理です^[1]。$f(a)=f(b)$ なら平均変化率が $0$ になります。

$$f^{\prime }(c)=0$$

行って戻ってくるなら、途中で必ず折り返す。折り返す点では接線が水平になります。

平均値の定理は、この主張を傾いた場合まで広げたものです。ロルの定理のほうが先にあり、そこから一般の形が導かれます。

仮定を外すと成り立たない

$f(x)=|x|-1$ を $[-1,1]$ で考えます^[1]。$f(-1)=f(1)=0$ なので、両端の値は等しい。

ところが $f^{\prime }(c)=0$ となる $c$ はありません。傾きは $-1$ か $1$ のどちらかで、$0$ になる場所がない。

原点で微分できないことが原因です。仮定の「区間の内部で微分できる」が効いていることが、この例から見えます。

角のある点では、左からの傾きと右からの傾きが違います。微分できる関数だけを相手にする、という仮定はここで効いています。

例：平方根で $c$ を求める

$f(x)=\sqrt{x}$ を $[0,9]$ で考えます^[1]。両端を結ぶ直線の傾きは $\frac{3-0}{9-0}=\frac{1}{3}$。

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ をこれと等しくおきます。

$$\frac{1}{2\sqrt{c}}=\frac{1}{3},\sqrt{c}=\frac{3}{2},c=\frac{9}{4}$$

$c=2.25$ は区間の内部にあります。定理が保証したとおり、条件を満たす点が見つかりました。

証明は補助関数で

平均値の定理は、ロルの定理に持ち込んで示します^[2]。曲線から両端を結ぶ直線を引いた差を考える。

$$h(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$$

こうすると $h(a)=h(b)=f(a)$ になります。両端の値がそろうので、ロルの定理が使える。

青い曲線が差を表します。両端が同じ高さになり、ロルの定理の形に持ち込めました。

$h^{\prime }(c)=0$ を書き直すと、そのまま平均値の定理の式になります。証明はここで終わり。

3 つの系

平均値の定理から、次の $3$ つがすぐ出ます^[1]。どれも当たり前に見えて、証明には定理が要ります。

$3$ 番目は増減表の根拠です。導関数の符号から関数の増減を言えるのは、平均値の定理があるため。

$2$ 番目は積分で効きます。原始関数が定数の差しかない、という事実がここから出ます。

例：不等式を証明する

$x>0$ で $\sin x<x$ を示します。$f(t)=\sin t$ に $[0,x]$ で平均値の定理を当てます。

$$\frac{\sin x-0}{x-0}=\cos c$$

$0<c<x$ です。$\cos c<1$ なので $\frac{\sin x}{x}<1$ となり、$x$ を掛ければ $\sin x<x$。

同じやり方で $e^x>1+x$ も示せます。$f(t)=e^t$ として $\frac{e^x-1}{x}=e^c$ とし、$e^c>1$ を使います。

つまずきやすいところ

平均値の定理は、単独の計算問題として出ることもあれば、増減や不等式の証明を支える土台として使われることもあります。名前を出さずに使っている場面のほうが、実際には多い。

参考文献