1 の無限大乗はなぜ e になるのか？極限を定義の形へ寄せる

$(1+h)$ は $1$ に近づき、$\frac{1}{h}$ は限りなく大きくなります。$1$ を何乗しても $1$ のはずなのに、答えは $1$ になりません。

$$e=\underset{h\to 0}{\lim }(1+h{)}^{1/h}=\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$$

底が $1$ へ近づく速さと、指数が大きくなる速さが釣り合った先に、$2.718281828\dots$ という値が現れます^[1]。

点は右へ行くほど破線に寄りますが、なかなか届きません。$n=40$ でようやく $2.69$ ほど^[1]。

定義の形へ寄せる

$(1+\square {)}^{1/\square }$ の形を作れば、答えは $e$ です。中身の $\square$ が $0$ に近づくことだけ確かめます。

指数が $\frac{1}{\square }$ でないときは、指数法則で外へ出します。

$$(1+h{)}^{3/h}={\left\{(1+h{)}^{1/h}\right\}}^3\to e^3$$

$3$ 乗の $3$ が、そのまま $e$ の肩に乗る形になります。

例：分子に係数がある場合

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{2}{n}\right)}^n$ を計算します。$\frac{2}{n}=\frac{1}{m}$ と置きかえます。

$n=2m$ なので、式は ${\left(1+\frac{1}{m}\right)}^{2m}$ になります。

$${\left\{{\left(1+\frac{1}{m}\right)}^m\right\}}^2\to e^2$$

置きかえずに、指数を $n=\frac{n}{2}\cdot 2$ と分ける書き方でも同じです。どちらでも $e^2$。

例：符号が負の場合

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1-\frac{1}{n}\right)}^n$ です。$-\frac{1}{n}=h$ とおくと $n=-\frac{1}{h}$。

$$(1+h{)}^{-1/h}={\left\{(1+h{)}^{1/h}\right\}}^{-1}\to e^{-1}$$

答えは $\frac{1}{e}$ です。負号は肩へ移り、逆数として現れます。

例：分数の形で与えられる場合

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^{2n}$ を計算します。まず $1+\frac{1}{n}$ の形に直します。

$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{2n}={\left\{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\right\}}^2\to e^2$$

分数のままだと形が見えません。$1$ を足した形に書き直す作業が、最初の一手になります。

対数をとる方法

指数の形が複雑なときは、対数をとってから極限を計算します。最後に $e$ の肩へ戻します。

$y=(1+\sin x{)}^{1/x}$ を $x\to 0$ で調べます。両辺の対数は次のとおり。

$$\log y=\frac{\log (1+\sin x)}{x}$$

$\frac{\log (1+t)}{t}\to 1$ と $\frac{\sin x}{x}\to 1$ を使います^[2]。

$$\frac{\log (1+\sin x)}{\sin x}\cdot \frac{\sin x}{x}\to 1\cdot 1=1$$

$\log y\to 1$ なので $y\to e$ です。積の形に分けるところが工夫になります。

e にまつわる 2 つの極限

定義から、次の $2$ つがすぐ出ます^[3]。どちらも $x=0$ での微分係数にあたります。

この $2$ つは、$e$ の定義と行き来できます。どれか $1$ つを出発点にすれば、残りは導ける関係です。

左の定義から対数をとると真ん中、置きかえると右。$3$ つは同じことの言い換えです。

つまずきやすいところ

$e$ の定義は、極限の問題としても微分の問題としても顔を出します。どちらから来ても同じ式に帰ってくる。

参考文献