陰関数の第 2 次導関数〜1 回目の式をもう一度微分する

陰関数を微分すると、$\frac{dy}{dx}$ が $x$ と $y$ の式で出てきます^[1]。第 $2$ 次導関数は、その式をもう一度微分して求めます。

途中で $\frac{dy}{dx}$ がまた現れるので、$1$ 回目の結果を代入します。この差しかえが手順の要です。

点が円を回ると、$y$ の符号が変わるところで凹凸も入れかわります。上半分は上に凸、下半分は下に凸。

手順

やることは $3$ つです。

$3$ 番目を忘れると、$\frac{dy}{dx}$ が残ったままの式になります。$x$ と $y$ だけの式に直すまでが仕事です。

例：円で計算する

$x^2+y^2=25$ を微分します^[1]。

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0,\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$

この式をもう一度微分します。商の微分で、分子と分母の両方を扱います。

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{1\cdot y-x\cdot \frac{dy}{dx}}{y^2}$$

ここで $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ を代入します。

$$\begin{array}{rl}\frac{d^{2}y}{d{x}^2}& =-\frac{y+\frac{x^2}{y}}{y^2}=-\frac{x^2+y^2}{y^3}\end{array}$$

さらに $x^2+y^2=25$ が使えます。もとの式に戻すと、式が短くなります。

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{25}{y^3}$$

符号から凹凸が読める

$y>0$ なら $y^3>0$ で、第 $2$ 次導関数は負。上半分は上に凸です^[2]。

$y<0$ なら符号が反転し、下に凸になります。円を上下に分けると、性質が入れかわる。

$y=0$ では分母が $0$ です。そこは接線が縦を向く点で、$y$ を $x$ の関数と見ること自体ができません。

赤い接線は円の外側の上に、青い接線は下にあります。凹凸の違いが、そのまま接線の位置に出ています。

例：双曲線で計算する

$x^2-y^2=1$ でも手順は同じです。微分して $\frac{dy}{dx}$ を出します。

$$2x-2y\frac{dy}{dx}=0,\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}$$

もう一度微分し、代入します。

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{y-x\cdot \frac{x}{y}}{y^2}=\frac{y^2-x^2}{y^3}=-\frac{1}{y^3}$$

もとの式 $x^2-y^2=1$ から $y^2-x^2=-1$。これを使うと分子が定数になります。

円のときと同じ形になりました。分子が $-25$ か $-1$ かの違いだけです。

例：楕円で計算する

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ を扱います。$\frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{9y}$ でした。

もう一度微分して代入します。

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{4}{9}\cdot \frac{y-x\left(-\frac{4x}{9y}\right)}{y^2}=-\frac{4}{9}\cdot \frac{9y^2+4x^2}{9y^3}$$

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ の両辺に $36$ を掛けると $4x^2+9y^2=36$。分子が定数になります。

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{16}{9y^3}$$

もとの式を使って分子を減らす、という仕上げが共通しています^[3]。

代入を忘れるとどうなるか

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}$ のまま止めると、答えとして不完全です。

$\frac{dy}{dx}$ は $x$ と $y$ で書ける量なので、残す理由がありません。代入して整理するところまでが答案。

もとの関係式を使って分子を減らす作業も、忘れがちです。$x^2+y^2$ の形が見えたら、数に置きかえます。

押さえるところ

手順は決まっているので、あとは計算を丁寧に追うだけです。代入と、もとの式による整理。この $2$ 段を忘れないところが分かれ目になります。

参考文献