カージオイドとリマソン〜内側の輪ができる境目を探す

心臓のような形をした曲線があります。媒介変数では次のように書けます^[1]。

$$x=2\cos \theta -\cos 2\theta ,y=2\sin \theta -\sin 2\theta$$

極座標に直すと、もっと短くなります。原点からの距離が角によってどう変わるか、という書き方です^[2]。

$$r=a(1-\cos \theta )$$

この形の仲間をまとめてリマソンといい、係数の比によって $3$ 通りの姿に分かれます。

$k$ を大きくしていくと、左側がへこみ、やがて内側へ折り込まれて輪になります。境目が $k=1$ です。

3 つの姿に分かれる

$r=1+k\cos \theta$ の形で分類します^[2]。

$k>1$ では、$\cos \theta$ が $-\frac{1}{k}$ より小さい角で $r$ が負になります。負の $r$ は反対側の点を指すので、そこが内側の輪になる。

カージオイドの尖点

$k=1$ のとき、$\theta =\pi$ で $r=0$ です。原点を通り、そこで曲線がとがります^[1]。

媒介変数の形で確かめます。$x=2\cos \theta -\cos 2\theta$、$y=2\sin \theta -\sin 2\theta$ を微分します。

$$\frac{dx}{d\theta }=-2\sin \theta +2\sin 2\theta ,\frac{dy}{d\theta }=2\cos \theta -2\cos 2\theta$$

$\theta =0$ を入れると、どちらも $0$ になります。速度が消える点なので、そこが尖点です^[3]。

$2$ 倍角の公式で書き直すと、$\frac{dx}{d\theta }=2\sin \theta (2\cos \theta -1)$ となります。$\theta =0,\pm \frac{\pi }{3},\pi$ で $0$。

増減と特徴的な点

$\frac{dy}{d\theta }=2(\cos \theta -\cos 2\theta )$ も因数分解できます。$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$ を使います。

$$\frac{dy}{d\theta }=-2(2\cos \theta +1)(\cos \theta -1)$$

$\cos \theta =-\frac{1}{2}$、つまり $\theta =\pm \frac{2\pi }{3}$ で $0$ になります。ここで接線が横向き。

$\theta =\pm \frac{\pi }{3}$ では $\frac{dx}{d\theta }=0$ なので、接線は縦向きです。

赤い点が尖点、青い点が接線の向きが変わる位置です。上下対称なので、調べるのは半分で足ります。

転がる円としての作られ方

同じ半径の円の外側を、円が滑らずに転がります。転がる円の周上の $1$ 点が描く軌跡が、この曲線です^[1]。

$1$ 周するあいだに、転がる円は $1$ 回だけ元の円に触れます。触れる瞬間が尖点になる。

アステロイドは円の内側を転がる形でした。外側なら尖点が $1$ つ、内側で $4$ 分の $1$ の大きさなら $4$ つ。転がる場所と大きさの比で、形が決まります。

対称性

$\theta \to -\theta$ とすると $\cos \theta$ は変わらず、$\sin \theta$ が符号を変えます。$x$ はそのまま、$y$ が反転する。

つまり $x$ 軸について対称です。$0\le \theta \le \pi$ の範囲だけ調べ、下半分は折り返して描きます。

$\cos$ を $\sin$ に替えた $r=1+k\sin \theta$ なら、対称軸が $y$ 軸に変わります。向きが $90$ 度回るだけで、形は同じ。

面積と長さ

積分の範囲になりますが、カージオイドの囲む面積は $\frac{3}{2}\pi a^2$、周の長さは $8a$ です^[1]。

$r=a(1-\cos \theta )$ の $a$ は、最大の距離 $2a$ の半分にあたります。半径 $a$ の円の面積の $\frac{3}{2}$ 倍という覚え方もできる。

押さえるところ

見た目が派手なぶん身構えますが、やることは増減表と対称性です。因数分解さえできれば、手順はほかの曲線と変わりません。

参考文献