見慣れない極限は微分係数に戻す〜定義そのものが答えになる場面

極限の問題で、そのまま代入すると $\frac{0}{0}$ になる形があります。分母が $h$ や $x-a$ なら、微分係数の定義を疑います。

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

この式を左から右へ使えば微分の計算、右から左へ使えば極限の計算になります。同じ式の裏表。

$h=0$ では分母が $0$ になり、値が定まりません。それでも左右どちらから近づけても、$0.8660$ に寄っていきます。

この値は $\cos \frac{\pi }{6}$ です。$f(x)=\sin x$ の $x=\frac{\pi }{6}$ における微分係数にあたります^[1]。

見分け方の手順

$3$ つを順に確かめます。

そろっていれば、$f$ と $a$ を読みとるだけで答えが出ます。極限の計算をせずに、微分の公式を当てる。

$f(x)=x^n$、$a=1$ と読めば終わりです。因数分解して約分する道もありますが、こちらのほうが速い。

例：三角関数の形

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin \left(\frac{\pi }{3}+h\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}}{h}$ を計算します。

$\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、分子は $\sin$ の $2$ 値の差です。$f(x)=\sin x$、$a=\frac{\pi }{3}$。

$$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$$

例：指数関数の形

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{2h}-1}{h}$ を計算します。$e^0=1$ に気づくと形が見えます^[3]。

$f(x)=e^{2x}$、$a=0$ とおくと、分子は $f(h)-f(0)$ です。$f^{\prime }(x)=2e^{2x}$ なので答えは $2$。

$\frac{e^h-1}{h}\to 1$ を知っていれば、$2h=t$ の置きかえでも出せます。どちらの道でも同じ値。

例：根号の形

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{4+h}-2}{h}$ です。$f(x)=\sqrt{x}$、$a=4$ と読みます。

$$f^{\prime }(4)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{4}$$

有理化してもできますが、定義の形に気づけば計算は $1$ 行で終わります。

分子の形を作る工夫

そのままでは定義の形にならないとき、$f(a)$ を足して引きます。値は変わらず、形だけが変わる。

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}$ を考えます。分子に $f(a)$ を足して引きます。

$$\begin{array}{rl}& =\underset{h\to 0}{\lim }\left\{2\cdot \frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}+\frac{f(a)-f(a-h)}{h}\right\}\\ & =2f^{\prime }(a)+f^{\prime }(a)=3f^{\prime }(a)\end{array}$$

$2h$ で割る形に直すために、$2$ を外へ出したところが工夫です。分母と、$a$ からのずれをそろえます。

係数の和で覚えると速い。$f(a+ph)-f(a+qh)$ の形なら、答えは $(p-q)f^{\prime }(a)$ になります。

例：係数を合わせる

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+3h)-f(a-2h)}{h}$ なら $p=3$、$q=-2$ です。答えは $5f^{\prime }(a)$。

$f(x)=\log x$、$a=1$ の場合で確かめます。$f^{\prime }(1)=1$ なので、極限は $5$ になるはず。

実際 $\frac{\log (1+3h)-\log (1-2h)}{h}$ は、$\log (1+t)\fallingdotseq t$ の近似から $\frac{3h+2h}{h}=5$ に近づきます^[2]。

気をつけるところ

定義に戻す型は、極限と微分の橋渡しです。どちらの単元の問題としても出るので、形で覚えておくと反応が速くなります。

参考文献