アステロイドの概形（星形になる理由ととがった 4 点）

$3$ 乗が入った三角関数の組で、星のような形が描けます^[1]。

$x = a cos^{3} θ, y = a sin^{3} θ$

$cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ を使うと、 $θ$ を消した形も書けます。両辺を $\frac{2}{3}$ 乗するところが工夫です。

$x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$

点は $4$ つの角で速さを失い、そこで向きを変えます。角と角のあいだでは、なめらかに動く。

対称性を調べる

$θ \to - θ$ とすると $x$ はそのまま、 $y$ が符号を変えます。 $x$ 軸について対称です。

$θ \to π - θ$ では $x$ が符号を変え、 $y$ はそのまま。 $y$ 軸についても対称になります。

さらに $x$ と $y$ を入れかえた形にもなるので、直線 $y = x$ についても対称。 $θ$ を $0$ から $\frac{π}{2}$ まで調べれば、残りは折り返しで描けます。

増減表ととがった 4 点

$θ$ で微分します。

$\frac{d x}{d θ} = - 3 a cos^{2} θ sin θ, \frac{d y}{d θ} = 3 a sin^{2} θ cos θ$

どちらも $θ = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}$ で $0$ になります。 $2$ つが同時に $0$ なので、そこが尖点です^[2]。

対応する点は $(a, 0)$ 、 $(0, a)$ 、 $(- a, 0)$ 、 $(0, - a)$ の $4$ つ。座標軸との交点が、そのままとがった点になります。

$0 < θ < \frac{π}{2}$ では $x$ が減り $y$ が増えます。左上へ向かう動きで、この区間だけがなめらかな弧。

接線の傾き

割り算で求めます。 $3 a sin θ cos θ$ が約分されます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 a sin ^{2} θ cos θ}{- 3 a cos ^{2} θ sin θ} = - tan θ$

尖点では約分が使えません。分母と分子が同時に $0$ になるためです。

例：接線が軸から切りとる長さ

接線の方程式を作ります。点 $(a cos^{3} θ, a sin^{3} θ)$ を通り、傾きが $- tan θ$ の直線です。

$x sin θ + y cos θ = a sin θ cos θ$

$y = 0$ とすると $x = a cos θ$ 、 $x = 0$ とすると $y = a sin θ$ 。軸との交点が求まります。

$2$ 点の距離を計算します。

$a^{2} cos^{2} θ + a^{2} sin^{2} θ = a$

$θ$ が消えました。接線が座標軸から切りとる線分の長さは、どこで引いても $a$ で一定です^[1]。

薄い線は $θ$ を少しずつ変えて引いた接線です。どれも同じ長さで、曲線はその包み込む形になっています。

長さ $a$ の棒の両端を、それぞれ縦の壁と床に付けたまま滑らせます。棒が通った跡の境目が、この曲線^[1]。

転がる円としての作られ方

半径 $\frac{a}{4}$ の円が、半径 $a$ の円の内側を滑らずに転がります。小さい円の周上の $1$ 点が描く軌跡が、この曲線です^[1]。

$4$ 倍という比が、尖点の数と一致します。 $1$ 周するあいだに、小さい円は $4$ 回だけ大きい円に触れる。

サイクロイドが直線の上を転がる話だったのに対し、こちらは円の内側。同じ仲間の曲線です^[3]。

$x = cos^{3} θ$ 、 $y = sin^{3} θ$ の $θ = \frac{π}{4}$ における接線の傾きはどれか。

$1$
$- 1$
$0$

__RESULT__

$\frac{d y}{d x} = - tan θ$ です。 $θ = \frac{π}{4}$ を入れると $- tan \frac{π}{4} = - 1$ になります。直線 $y = x$ に垂直な向きです。

曲線が囲む面積と長さ

高校の範囲を少し超えますが、積分で計算できます。囲む面積は $\frac{3}{8} π a^{2}$ 、周の長さは $6 a$ です^[1]。

外接する円の面積は $π a^{2}$ なので、およそ $8$ 分の $3$ 。とがったぶんだけ、円より小さくなります。

周の長さが $6 a$ という値も覚えやすい形。半径 $a$ の円周 $2 π a$ よりわずかに小さい程度です。

アステロイドのとがった点はいくつあるか。

$2$ つ
$4$ つ
$6$ つ

__RESULT__

$\frac{d x}{d θ}$ と $\frac{d y}{d θ}$ が同時に $0$ になるのは $θ = 0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}$ の $4$ か所。座標軸との交点にあたります。

押さえるところ

媒介変数の形と、

\frac{2}{3}

乗の形を行き来できるようにします。

接線の傾きは

- tan θ

。約分の途中で

sin θ cos θ

が消えます。

とがった点は

4

つで、座標軸との交点です。

接線が軸から切りとる線分の長さは、いつでも

a

。

対称性が

4

方向にあるので、調べるのは

\frac{π}{2}

までで足ります。

星形という見た目より、接線の長さが一定という性質のほうが問題では問われます。式を作ってから $θ$ が消える流れを、一度たどっておくと安心です。

参考文献

Astroid - Wikipedia

Parametric equation - Wikipedia

Dérivées usuelles - Wikipédia（フランス語）

$x = a\cos^3\theta$、$y = a\sin^3\theta$ から $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$ へ。$dx/d\theta$ と $dy/d\theta$ が同時に $0$ になる 4 か所で点が止まり、そこがとがった角になります。接線の傾きは $-\tan\theta$ で、座標軸から切りとる線分の長さはいつでも $a$。長さ $a$ の棒を壁と床に沿って滑らせた跡、という見方も図にしました。