アステロイドの概形（星形になる理由ととがった 4 点）

$3$ 乗が入った三角関数の組で、星のような形が描けます^[1]。

$$x=a{\cos }^3\theta ,y=a{\sin }^3\theta$$

${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ を使うと、$\theta$ を消した形も書けます。両辺を $\frac{2}{3}$ 乗するところが工夫です。

$$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$$

点は $4$ つの角で速さを失い、そこで向きを変えます。角と角のあいだでは、なめらかに動く。

対称性を調べる

$\theta \to -\theta$ とすると $x$ はそのまま、$y$ が符号を変えます。$x$ 軸について対称です。

$\theta \to \pi -\theta$ では $x$ が符号を変え、$y$ はそのまま。$y$ 軸についても対称になります。

さらに $x$ と $y$ を入れかえた形にもなるので、直線 $y=x$ についても対称。$\theta$ を $0$ から $\frac{\pi }{2}$ まで調べれば、残りは折り返しで描けます。

増減表ととがった 4 点

$\theta$ で微分します。

$$\frac{dx}{d\theta }=-3a{\cos }^2\theta \sin \theta ,\frac{dy}{d\theta }=3a{\sin }^2\theta \cos \theta$$

どちらも $\theta =0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2}$ で $0$ になります。$2$ つが同時に $0$ なので、そこが尖点です^[2]。

対応する点は $(a,0)$、$(0,a)$、$(-a,0)$、$(0,-a)$ の $4$ つ。座標軸との交点が、そのままとがった点になります。

$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ では $x$ が減り $y$ が増えます。左上へ向かう動きで、この区間だけがなめらかな弧。

接線の傾き

割り算で求めます。$3a\sin \theta \cos \theta$ が約分されます。

$$\frac{dy}{dx}=\frac{3a{\sin }^2\theta \cos \theta }{-3a{\cos }^2\theta \sin \theta }=-\tan \theta$$

尖点では約分が使えません。分母と分子が同時に $0$ になるためです。

例：接線が軸から切りとる長さ

接線の方程式を作ります。点 $(a{\cos }^3\theta ,a{\sin }^3\theta )$ を通り、傾きが $-\tan \theta$ の直線です。

$$x\sin \theta +y\cos \theta =a\sin \theta \cos \theta$$

$y=0$ とすると $x=a\cos \theta$、$x=0$ とすると $y=a\sin \theta$。軸との交点が求まります。

$2$ 点の距離を計算します。

$$\sqrt{a^2{\cos }^2\theta +a^2{\sin }^2\theta }=a$$

$\theta$ が消えました。接線が座標軸から切りとる線分の長さは、どこで引いても $a$ で一定です^[1]。

薄い線は $\theta$ を少しずつ変えて引いた接線です。どれも同じ長さで、曲線はその包み込む形になっています。

長さ $a$ の棒の両端を、それぞれ縦の壁と床に付けたまま滑らせます。棒が通った跡の境目が、この曲線^[1]。

転がる円としての作られ方

半径 $\frac{a}{4}$ の円が、半径 $a$ の円の内側を滑らずに転がります。小さい円の周上の $1$ 点が描く軌跡が、この曲線です^[1]。

$4$ 倍という比が、尖点の数と一致します。$1$ 周するあいだに、小さい円は $4$ 回だけ大きい円に触れる。

サイクロイドが直線の上を転がる話だったのに対し、こちらは円の内側。同じ仲間の曲線です^[3]。

曲線が囲む面積と長さ

高校の範囲を少し超えますが、積分で計算できます。囲む面積は $\frac{3}{8}\pi a^2$、周の長さは $6a$ です^[1]。

外接する円の面積は $\pi a^2$ なので、およそ $8$ 分の $3$。とがったぶんだけ、円より小さくなります。

周の長さが $6a$ という値も覚えやすい形。半径 $a$ の円周 $2\pi a$ よりわずかに小さい程度です。

押さえるところ

星形という見た目より、接線の長さが一定という性質のほうが問題では問われます。式を作ってから $\theta$ が消える流れを、一度たどっておくと安心です。

参考文献