方程式の実数解の個数をグラフで数える｜不等式の証明にも使う

方程式 $f(x)=k$ の実数解の個数は、曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=k$ の交点の個数です。

解を求めるのではなく、数えるだけならグラフで足ります。増減を調べて山と谷の高さを出し、直線がどこを横切るかを見る。

直線を上下に動かすと、交点の数が変わります。境目は極大値と極小値の高さ。

例：3 次方程式の解の個数

$x^3-3x=k$ の実数解の個数を、$k$ で場合分けします。

$f(x)=x^3-3x$ とおくと $f^{\prime }(x)=3(x+1)(x-1)$ です。$x=-1$ で極大値 $2$、$x=1$ で極小値 $-2$。

$k$ が極値と一致するときだけ、接する形になります。接点は $2$ 個の解が重なったものと見なせる。

定数を分離する

文字が式の中に散らばっていると、場合分けが複雑になります。定数だけを片側に集めると見通しがよくなる。

$e^x=ax$ を考えます。$x=0$ は解ではないので、両辺を $x$ で割ります。

$$a=\frac{e^x}{x}$$

左辺は $x$ を含まない定数、右辺は $x$ だけの関数。これで、水平な直線と曲線の交点の問題に変わりました。

$g(x)=\frac{e^x}{x}$ の導関数は $\frac{e^x(x-1)}{x^2}$ です。$x>0$ では $x=1$ で最小値 $e$ をとります。

$x<0$ の側では値がつねに負で、$x\to -\infty$ で $0$ に近づき、$x\to -0$ で限りなく小さくなる。

中間値の定理で存在を言う

解の個数を数える前に、そもそも解があることを示す場面もあります。使うのは中間値の定理です^[1]。

連続な関数が区間の両端で異なる符号をとれば、その間に $f(x)=0$ となる点があります。

$f(x)=x^3+x-1$ で試します。$f(0)=-1<0$、$f(1)=1>0$ なので、$0$ と $1$ のあいだに解がある。

さらに $f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ から、この関数はつねに増加します^[2]。増え続けるなら同じ値を $2$ 回とることはないので、解はちょうど $1$ 個。

存在は中間値の定理、個数は単調性。この $2$ つを組み合わせる形が定番です。

不等式は差の関数で示す

$f(x)>g(x)$ を示すには、差 $h(x)=f(x)-g(x)$ の最小値を調べます。

最小値が正なら、いつでも $f$ のほうが大きい。増減表を書くだけの作業に変わります。

例：対数と 1 次式を比べる

$x>0$ で $\log x\le x-1$ を示します。差をとって $h(x)=x-1-\log x$ とおきます。

$$h^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$$

$0<x<1$ で負、$x>1$ で正なので、$x=1$ で最小です。$h(1)=0$ なので $h(x)\ge 0$。

等号は $x=1$ のときだけ成り立ちます。$y=\log x$ が接線 $y=x-1$ の下にある、という図の話と同じ内容です。

例：指数関数を 2 次式で下から押さえる

$x>0$ で $e^x>1+x+\frac{x^2}{2}$ を示します。差を $h(x)$ とおきます。

$$h^{\prime }(x)=e^x-1-x,h^{\prime \prime }(x)=e^x-1$$

$x>0$ で $h^{\prime \prime }(x)>0$ なので $h^{\prime }$ は増加、$h^{\prime }(0)=0$ から $h^{\prime }(x)>0$。したがって $h$ も増加します。

$h(0)=0$ なので、$x>0$ では $h(x)>0$ です。$2$ 段階に分けて微分するところが手順の要点になります。

例：接する条件から係数を求める

$x^3-3x=k$ が重なる解を持つのは、$k$ が極値と一致するときでした。同じ考え方で係数も決められます。

$y=x^3$ と $y=3x+k$ が接する $k$ を探すなら、接点で値と傾きの両方が一致する条件を書きます。

解の個数の問題と接する条件の問題は、同じ図を別の角度から見ているだけ。片方の解き方が、そのままもう片方に使えます。

手順を整理する

解を求めずに個数だけ答える、値を計算せずに大小だけ示す。どちらも増減表があれば届く範囲です。

参考文献