曲線に「いちばん寄り添う円」を当てると縮閉線が見えてくる

接線は、その点で曲線にいちばん近い直線でした。同じ考えで円を当てると、曲がり具合が測れます^[1]。

その円を曲率円といいます。半径が小さいほど、曲線は急に曲がっている。

$$\kappa =\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}},R=\frac{1}{\kappa }$$

$\kappa$ が曲率、$R$ が曲率半径です。教科書の範囲を超えますが、第 $2$ 次導関数の意味が形になった量になります。

青い点が動くと、円の大きさが変わります。頂点で半径 $\frac{1}{2}$、そこから離れるほど大きくなる。

急に曲がっている場所ほど、小さい円がぴったり合います。ゆるやかな場所では、大きい円になる。

例：放物線の曲率

$y=x^2$ で計算します。$y^{\prime }=2x$、$y^{\prime \prime }=2$ を式に入れます^[1]。

$$\kappa =\frac{2}{(1+4x^2{)}^{3/2}}$$

$x=0$ で $\kappa =2$、曲率半径は $\frac{1}{2}$ です。$x$ が大きくなると分母が増え、曲率は $0$ に近づきます。

遠くでは、放物線はほとんど直線に見えます。曲率が $0$ に近づくことが、その言い換えです。

分母の 3 乗が出る理由

$y^{\prime \prime }$ だけでは曲がり具合を測れません。傾いた場所では、同じ $y^{\prime \prime }$ でも実際の曲がりはゆるくなります。

分母の $(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}$ が、その補正です。傾きが急なほど大きくなり、曲率を小さくします。

直線なら $y^{\prime \prime }=0$ で $\kappa =0$。円なら、どこでも $\kappa$ が半径の逆数で一定になります。

曲率の中心

曲率円の中心は、法線の上にあります。接点から法線に沿って $R$ だけ進んだ位置です^[3]。

$y=f(x)$ のとき、中心の座標は次のように書けます^[2]。

$$X=x-\frac{y^{\prime }(1+y^{\prime 2})}{y^{\prime \prime }},Y=y+\frac{1+y^{\prime 2}}{y^{\prime \prime }}$$

$y=x^2$ に当てはめます。$y^{\prime }=2x$、$y^{\prime \prime }=2$ を入れて整理します。

$$X=-4x^3,Y=3x^2+\frac{1}{2}$$

縮閉線

接点を動かすと、中心も動きます。その軌跡を縮閉線といいます^[2]。

放物線の縮閉線は、$X=-4x^3$、$Y=3x^2+\frac{1}{2}$ という媒介変数表示の曲線です。

$x$ を消すと、$Y-\frac{1}{2}$ の $3$ 乗が $X$ の $2$ 乗に比例する形になります。とがった点をもつ曲線です。

青い曲線が縮閉線です。灰色の法線が、放物線の点と曲率中心を結んでいます。

とがった点は、曲率半径が最小になる位置に対応します。放物線では頂点の上、$\left(0,\frac{1}{2}\right)$ の位置^[2]。

伸開線との関係

縮閉線と伸開線は、たがいに逆の関係にあります。もとの曲線は、その縮閉線の伸開線になっている^[2]。

糸をほどく話を思い出すと分かりやすい。縮閉線に糸を巻きつけてほどくと、その先がもとの曲線を描きます。

法線が両方をつないでいます。もとの曲線の法線は、縮閉線の接線でもある^[3]。

例：楕円の縮閉線

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の縮閉線は、とがった点を $4$ つもつ形になります^[2]。

媒介変数で書くと、${\cos }^{3}t$ と ${\sin }^{3}t$ が現れます。アステロイドを縦横に引き伸ばした形です。

円の場合は縮閉線が中心の $1$ 点につぶれます。曲率半径がどこでも同じなので、中心が動かないためです。

直線と円の場合

押さえるところ

凹凸の符号だけを見ていた $y^{\prime \prime }$ が、大きさとしても意味を持ちます。曲率は、その大きさを図形の言葉に直したものです。

参考文献