増減表はどう埋めるのか - 導関数の符号で極大と極小を見分ける

導関数の符号が正なら関数は増え、負なら減ります^[1]。増減表は、この対応を $1$ 枚に整理したものです。

$f^{'} (x) > 0 \Rightarrow 増加, f^{'} (x) < 0 \Rightarrow 減少$

符号が入れかわる点で、増加と減少が切り替わります。そこが極大や極小の候補になる。符号から増減を言えるのは、平均値の定理が保証しているためです^[3]。

接線の色が変わる位置が、増減の切り替わりです。 $x = - 1$ と $x = 3$ の $2$ か所で向きが変わります。

増減表を作る手順

やることは決まっています。上から順になぞるだけ。

定義域を確かめます。分数や根号があれば、除く点を先に押さえます。

f^{'} (x)

を計算し、

f^{'} (x) = 0

を解きます。

解と定義域の切れ目で数直線を区切ります。

各区間で

f^{'} (x)

の符号を調べます。因数分解しておくと速い。

符号から増減を書き、極値を計算して表に入れます。

符号を調べるとき、区間ごとに適当な値を $1$ つ代入すると確実です。因数の符号を数える方法でも同じ結論に届きます。

例：3 次関数の増減を調べる

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 1$ を扱います^[1]。まず導関数を因数分解します。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x + 1) (x - 3)$

$f^{'} (x) = 0$ の解は $x = - 1$ と $x = 3$ です。 $x < - 1$ では正、 $- 1 < x < 3$ では負、 $x > 3$ では正。

極大値は $f (- 1) = 4$ 、極小値は $f (3) = - 28$ になります。

真ん中の段が導関数の符号、下の段が関数の動きです。 $0$ を書いた列の前後で、符号が入れかわっている。

線が上がっていれば増加、下がっていれば減少。極大は上がってから下がる点、極小は下がってから上がる点です。

第 1 次導関数による判定

$f^{'} (c) = 0$ の点で、符号が正から負へ変わるなら極大^[1]。負から正へ変わるなら極小です。

符号が変わらなければ極値ではありません。 $f (x) = x^{3}$ の原点がその例で、 $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ は両側とも正のまま。

極大になる点

$f^{'}$ の符号が正から負へ変わる。増えてきて、そこから減りはじめる

極小になる点

$f^{'}$ の符号が負から正へ変わる。減ってきて、そこから増えはじめる

$f^{'} (c) = 0$ は極値であるための必要条件にすぎません^[2]。候補を挙げるところまでが導関数の役目です。

第 2 次導関数による判定

候補が出たあと、 $f^{''} (c)$ の符号でも判定できます^[1]。

$f^{''} (c) > 0$ なら下に凸なので極小、 $f^{''} (c) < 0$ なら上に凸なので極大です。

さきほどの $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 1$ なら $f^{''} (x) = 6 x - 6$ 。 $f^{''} (- 1) = - 12 < 0$ で極大、 $f^{''} (3) = 12 > 0$ で極小と決まります。

$f^{''} (c) = 0$ のときは判定できません。そのときは符号の変化を調べる第 1 の方法に戻ります。

例：判定できない場合

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3}$ を調べます^[1]。 $f^{'} (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} = 5 x^{2} (x^{2} - 3)$ 。

候補は $x = 0$ と $x = \pm 3$ です。 $f^{''} (x) = 20 x^{3} - 30 x$ を計算すると、 $f^{''} (0) = 0$ になります。

$x = \pm 3$ のほうは判定できます。 $f^{''} (3) > 0$ なので極小、 $f^{''} (- 3) < 0$ なので極大。

$x = 0$ では $f^{'} (x) = 5 x^{2} (x^{2} - 3)$ の符号が両側とも負のままです。増減が変わらないので、極値ではありません。

$f (x) = x^{3} - 3 x$ の極大値はどれか。

$- 2$
$2$
$0$

__RESULT__

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)$ です。 $x = - 1$ で正から負へ変わるので極大で、 $f (- 1) = - 1 + 3 = 2$ になります。 $x = 1$ が極小で、値は $- 2$ です。

極値は必ずしも最大値ではない

極大は「まわりと比べて」いちばん高い点です^[2]。区間全体で見たときの最大値とは別の概念になります。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 1$ を $[- 4, 5]$ で考えます。極大値は $4$ ですが、 $f (5) = 4$ 、 $f (- 4) = - 77$ 。

区間の端も候補に入れて比べる必要があります。閉じた区間での最大最小は、極値と両端の値をすべて並べて選ぶ形です。

例：分数関数の増減

$f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 1}$ を調べます。定義域は $x \neq = 1$ 。

商の公式から導関数を出します。

$f^{'} (x) = \frac{2 x ( x - 1 ) - x ^{2}}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ( x - 2 )}{( x - 1 ) ^{2}}$

分母は正なので、符号は分子で決まります。 $x = 0$ で極大、 $x = 2$ で極小。

極大値が $0$ 、極小値が $4$ で、極小のほうが大きい。定義域が $x = 1$ で切れているために、こうしたことが起こります。

$f^{'} (c) = 0$ について正しいものはどれか。

$c$ では必ず極値をとる
極値をとる点の候補にすぎない
$c$ では必ず最大値をとる

__RESULT__

$f (x) = x^{3}$ の原点では $f^{'} (0) = 0$ ですが、極値ではありません。 $f^{'} (c) = 0$ は候補を挙げる条件で、そこから符号の変化や第 2 次導関数で判定します。

気をつけるところ

定義域から外れる点を、増減表の区切りに入れ忘れないようにします。

f^{'} (x)

を因数分解しておくと、符号の判定が速くなります。

分母が

2

乗の形なら符号は分子だけで決まります。

極大値と極小値は

y

の値です。

x

の値と混同しないところが要注意。

閉区間の最大最小では、端の値も並べて比べます。

増減表が書ければ、グラフの形はほぼ決まります。あとは凹凸と漸近線を足せば、概形まで届く。

参考文献

Derivatives and the Shape of a Graph - Calculus Volume 1, OpenStax

Extremwert - Wikipedia（ドイツ語）

The Mean Value Theorem - Calculus Volume 1, OpenStax

$f'(x)$ の符号が正なら増加、負なら減少。切り替わる点が極値の候補になります。$x^3-3x^2-9x-1$ を例に、導関数を因数分解して符号を追い、増減表の 3 段がどう埋まるかを図で示しました。第 2 次導関数による判定と、$x^5-5x^3$ のように判定できない場合の戻り方も。$f'(c)=0$ が候補にすぎないこと、閉区間では端の値も比べることまで押さえます。