速度、加速度、そして近似式。微分が現実の量に変わるところ

位置を時刻で微分すると速度、速度をもう一度微分すると加速度になります^[1]。

$$v(t)=\frac{ds}{dt},a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}s}{d{t}^2}$$

速度には向きが含まれます。数直線上なら符号が向きを表し、速さはその絶対値 $|v(t)|$。

速度が負でも速さは正です。左へ動いているとき、速度は $-3$、速さは $3$ という言い方になります。

平面上の運動

平面を動く点では、$x$ と $y$ をそれぞれ時刻で微分します。並べたものが速度ベクトル。

$$\vec{v}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right),|\vec{v}|=\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}$$

加速度ベクトルも同じで、もう一度ずつ微分して並べます。速度ベクトルの向きは、その瞬間の進行方向と一致する。

$x=\cos t$、$y=\sin t$ の運動です。速度は $(-\sin t,\cos t)$ で、大きさは $1$ のまま変わりません。

加速度は $(-\cos t,-\sin t)$ で、位置ベクトルの逆向き。つまり中心を向きます。

速さが一定でも加速度が $0$ にならないところが要点です。向きが変わり続けることも、速度の変化に数えられる。

例：投げ上げた物体の運動

初速 $v_0$、角度 $\theta$ で投げたときの位置を式にします。$g$ を重力加速度とします。

$$x=v_0\cos \theta \cdot t,y=v_0\sin \theta \cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2$$

$t$ で微分すると速度ベクトルが出ます。横向きは一定、縦向きだけが減っていく。

$$\vec{v}=(v_0\cos \theta ,v_0\sin \theta -gt)$$

もう一度微分すると $\vec{a}=(0,-g)$ です。加速度は下向きで一定になります。

いちばん高い点では、縦の速度が $0$ になります。$t=\frac{v_0\sin \theta }{g}$ がその時刻。

青い矢印が短くなり、頂上で水平になり、また伸びていきます。赤い矢印はいつも同じ長さで下を向いたまま。

近似式は接線そのもの

接線は、その点の近くで曲線といちばんよく重なる直線でした^[2]。式にすると近似式になります。

$$f(a+h)\fallingdotseq f(a)+f^{\prime }(a)h$$

$h$ が小さいほど、ずれは小さくなります。接点から離れるほど当てにならなくなる。

赤い縦線が、曲線と接線のへだたりです。接点のそばではほとんど見えず、離れると開いていきます。

例：平方根を見積もる

$\sqrt{9.1}$ を計算します^[2]。$f(x)=\sqrt{x}$、$a=9$、$h=0.1$ とおきます。

$f(9)=3$、$f^{\prime }(9)=\frac{1}{2\sqrt{9}}=\frac{1}{6}$ です。

$$\sqrt{9.1}\fallingdotseq 3+\frac{1}{6}\times 0.1=3.0167$$

実際の値は $3.01662\dots$ で、小数第 $3$ 位まで合っています。電卓なしでこの精度が出る。

よく使う近似式

$a=0$ での近似は、そのまま公式として使えます^[3]。

$\sqrt{1.02}$ なら $p=\frac{1}{2}$、$x=0.02$ として $1.01$。$\frac{1}{0.98}$ なら $p=-1$、$x=-0.02$ として $1.02$ です。

角の近似は弧度法で使います。$\sin 1^{\circ }$ を求めるなら、まず $\frac{\pi }{180}$ に直してから当てます。

誤差の伝わり方

測定の誤差が、計算結果にどう効くかも微分で見積もれます^[2]。変化量を $dy=f^{\prime }(x)dx$ と書きます。

球の半径を $r$ と測り、体積を $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ で計算する場合を考えます。

$$dV=4\pi r^{2}dr,\frac{dV}{V}=3\cdot \frac{dr}{r}$$

半径の相対誤差が $1$ パーセントなら、体積の相対誤差はおよそ $3$ パーセント。$3$ 乗の効果が、そのまま $3$ 倍として現れます。

面積なら $2$ 倍です。指数がそのまま倍率になる、という見方ができます。

つながりを整理する

微分が現実の量とつながるのは、この単元です。増減表を書く作業が、速度や誤差の話に変わります。

参考文献