速度、加速度、そして近似式。微分が現実の量に変わるところ

位置を時刻で微分すると速度、速度をもう一度微分すると加速度になります^[1]。

$v (t) = \frac{d s}{d t}, a (t) = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} s}{d t ^{2}}$

速度には向きが含まれます。数直線上なら符号が向きを表し、速さはその絶対値 $∣ v (t) ∣$ 。

速度が負でも速さは正です。左へ動いているとき、速度は $- 3$ 、速さは $3$ という言い方になります。

平面上の運動

平面を動く点では、 $x$ と $y$ をそれぞれ時刻で微分します。並べたものが速度ベクトル。

$v = (\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}), ∣ v ∣ = (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2}$

加速度ベクトルも同じで、もう一度ずつ微分して並べます。速度ベクトルの向きは、その瞬間の進行方向と一致する。

$x = cos t$ 、 $y = sin t$ の運動です。速度は $(- sin t, cos t)$ で、大きさは $1$ のまま変わりません。

加速度は $(- cos t, - sin t)$ で、位置ベクトルの逆向き。つまり中心を向きます。

速さが一定でも加速度が $0$ にならないところが要点です。向きが変わり続けることも、速度の変化に数えられる。

例：投げ上げた物体の運動

初速 $v_{0}$ 、角度 $θ$ で投げたときの位置を式にします。 $g$ を重力加速度とします。

$x = v_{0} cos θ \cdot t, y = v_{0} sin θ \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}$

$t$ で微分すると速度ベクトルが出ます。横向きは一定、縦向きだけが減っていく。

$v = (v_{0} cos θ, v_{0} sin θ - g t)$

もう一度微分すると $a = (0, - g)$ です。加速度は下向きで一定になります。

いちばん高い点では、縦の速度が $0$ になります。 $t = \frac{v _{0} sin θ}{g}$ がその時刻。

青い矢印が短くなり、頂上で水平になり、また伸びていきます。赤い矢印はいつも同じ長さで下を向いたまま。

近似式は接線そのもの

接線は、その点の近くで曲線といちばんよく重なる直線でした^[2]。式にすると近似式になります。

$f (a + h) ≒ f (a) + f^{'} (a) h$

$h$ が小さいほど、ずれは小さくなります。接点から離れるほど当てにならなくなる。

赤い縦線が、曲線と接線のへだたりです。接点のそばではほとんど見えず、離れると開いていきます。

例：平方根を見積もる

$9.1$ を計算します^[2]。 $f (x) = x$ 、 $a = 9$ 、 $h = 0.1$ とおきます。

$f (9) = 3$ 、 $f^{'} (9) = \frac{1}{2 9} = \frac{1}{6}$ です。

$9.1 ≒ 3 + \frac{1}{6} \times 0.1 = 3.0167$

実際の値は $3.01662 \dots$ で、小数第 $3$ 位まで合っています。電卓なしでこの精度が出る。

よく使う近似式

$a = 0$ での近似は、そのまま公式として使えます^[3]。

∣ x ∣

が小さいとき、

(1 + x)^{p} ≒ 1 + p x

。

∣ x ∣

が小さいとき、

e^{x} ≒ 1 + x

。

∣ x ∣

が小さいとき、

lo g (1 + x) ≒ x

。

∣ x ∣

が小さいとき、

sin x ≒ x

。

∣ x ∣

が小さいとき、

cos x ≒ 1 - \frac{x ^{2}}{2}

。

$1.02$ なら $p = \frac{1}{2}$ 、 $x = 0.02$ として $1.01$ 。 $\frac{1}{0.98}$ なら $p = - 1$ 、 $x = - 0.02$ として $1.02$ です。

角の近似は弧度法で使います。 $sin 1^{\circ}$ を求めるなら、まず $\frac{π}{180}$ に直してから当てます。

$3 8.1$ の近似値はどれか。

$2.0$
$2.008$
$2.03$

__RESULT__

$f (x) = x^{1/3}$ 、 $a = 8$ とします。 $f (8) = 2$ 、 $f^{'} (8) = \frac{1}{3} \cdot 8^{- 2/3} = \frac{1}{12}$ なので、 $2 + \frac{0.1}{12} ≒ 2.0083$ になります。

誤差の伝わり方

測定の誤差が、計算結果にどう効くかも微分で見積もれます^[2]。変化量を $d y = f^{'} (x) d x$ と書きます。

球の半径を $r$ と測り、体積を $V = \frac{4}{3} π r^{3}$ で計算する場合を考えます。

$d V = 4 π r^{2} d r, \frac{d V}{V} = 3 \cdot \frac{d r}{r}$

半径の相対誤差が $1$ パーセントなら、体積の相対誤差はおよそ $3$ パーセント。 $3$ 乗の効果が、そのまま $3$ 倍として現れます。

面積なら $2$ 倍です。指数がそのまま倍率になる、という見方ができます。

数直線上を動く点の位置が $s (t) = t^{3} - 9 t^{2} + 24 t + 4$ のとき、速度が $0$ になる時刻はどれか。

$t = 3$ だけ
$t = 2$ と $t = 4$
$t = 0$ と $t = 6$

__RESULT__

$v (t) = 3 t^{2} - 18 t + 24 = 3 (t - 2) (t - 4)$ です。 $t = 2$ と $t = 4$ で $0$ になり、そこで進む向きが変わります。 $t = 3$ は加速度が $0$ になる時刻です。

つながりを整理する

位置を

1

回微分すると速度、

2

回微分すると加速度になります。

速度は向きを含み、速さはその大きさ。符号と絶対値の違いです。

平面上では成分ごとに微分し、ベクトルとして並べます。

近似式は接線の式そのもの。接点から離れるほど当てになりません。

誤差の見積もりでは、相対誤差に指数が倍率として効きます。

微分が現実の量とつながるのは、この単元です。増減表を書く作業が、速度や誤差の話に変わります。

参考文献

Derivatives as Rates of Change - Calculus Volume 1, OpenStax

Linear Approximations and Differentials - Calculus Volume 1, OpenStax

Dérivées usuelles - Wikipédia（フランス語）

位置を 1 回微分すると速度、2 回で加速度。等速円運動では速さが一定でも加速度が中心を向き、投げ上げでは加速度だけが下向きに一定です。矢印を動かしながらその違いを見ます。接線の式はそのまま近似式になり、$\sqrt{9.1} \fallingdotseq 3.0167$ が電卓なしで出る。$(1+x)^p \fallingdotseq 1+px$ の使い方と、半径の誤差が体積で 3 倍になる見積もりまで。