曲線に引ける接線の本数は接点の個数を数えれば決まる

点 $\mathrm{A}$ から曲線に引ける接線の本数は、接点がいくつあるかで決まります。接点を文字で置き、その方程式の実数解を数えます^[1]。

手順は $4$ つです。

解の個数がそのまま接線の本数です。$t$ の値そのものは要りません。

点を縦に動かすと、接線の本数が $1$ 本から $3$ 本まで変わります。境目では、$2$ 本のうち $1$ 本が接点を重ねて消える。

例：3 次曲線に外から引く

$y=x^3$ に、点 $(a,b)$ から引ける接線の本数を調べます。接点を $t$ とすると接線は次のとおり。

$$y=3t^{2}x-2t^3$$

$(a,b)$ を通る条件を書きます。

$$b=3a{t}^2-2t^3$$

右辺を $g(t)$ とおき、$g(t)=b$ の解の個数を数えます。$g^{\prime }(t)=-6t^2+6at=-6t(t-a)$。

$a>0$ のとき、$t=0$ で極小値 $0$、$t=a$ で極大値 $a^3$ です。

$b=a^3$ は、点が曲線の上にある場合です。そこでの接線と、反対側から触れる接線の $2$ 本になります。

曲線と $x$ 軸が平面を分けています。色を付けた $2$ か所にある点からは $3$ 本、外側からは $1$ 本。

境界の上にある点からは $2$ 本です。領域の図をかいてしまえば、場合分けの答えがそのまま読めます。

例：放物線には 2 本まで

$y=x^2$ に点 $(a,b)$ から引く場合を見ます。接点を $t$ とすると接線は $y=2tx-t^2$。

$$b=2at-t^2,t^2-2at+b=0$$

$t$ の $2$ 次方程式です。判別式は $4a^2-4b$ なので、$b<a^2$ なら $2$ 本、$b=a^2$ なら $1$ 本、$b>a^2$ なら $0$ 本。

$b=a^2$ は点が放物線の上にある場合で、そこでの接線だけになります。放物線の内側からは $1$ 本も引けません。

$3$ 次曲線で $3$ 本まで引けるのは、$t$ の方程式が $3$ 次になるためです。次数がそのまま上限を決めています。

接点が重なるとき

方程式が重解を持つ場合、接線は $1$ 本にまとまります。本数を数えるときは、異なる実数解の個数を数えます^[3]。

$y=x^3$ の原点がその例です。$(0,0)$ から引ける接線は $y=0$ の $1$ 本だけ。方程式 $-2t^3=0$ が $t=0$ の $3$ 重解になります。

「解の個数」と「異なる解の個数」を読み分けるところが、この単元のつまずきどころです。

曲線上の点から引く場合

点が曲線の上にあると、その点での接線が必ず $1$ 本あります。それ以外に、別の場所で触れる接線が加わることもあります。

$y=x^3$ の点 $(1,1)$ から引くと、$t=1$ での接線と、$t=-\frac{1}{2}$ での接線の $2$ 本。曲線が $\mathrm{S}$ 字に曲がっているので、反対側からも触れられます。

放物線では、上にある点から引ける接線はその点での $1$ 本だけ。曲線の曲がり方が一方向なので、ほかに触れる場所がありません。

気をつけるところ

接線の本数の問題は、方程式の実数解の個数の問題に置き換わります。増減表を書く作業に持ち込めれば、あとは数えるだけ。

参考文献