数学Ⅲの微分の計算問題〜形を見てから公式を選ぶ

$y=\sqrt{x^2+4}$ を微分するとき、まず決めるのは公式ではなく形です。根号が外側、$x^2+4$ が内側。合成の規則を当てる形だと分かります。

式を見て $3$ つのどれかに振り分ける。積か、商か、合成か。振り分けが済めば、あとは公式に当てはめるだけです^[1]。

以下は $15$ 問です。積と商から始め、合成が重なる形、指数と対数を含む形まで並べました。

問題 1：多項式どうしの積

$y=(2x^3-5x)(x^2+1)$ を微分せよ。

解答 1

積の規則です。片方だけを微分した項を $2$ つ作ります。

$$y^{\prime }=(6x^2-5)(x^2+1)+(2x^3-5x)(2x)$$

展開して整理すると $y^{\prime }=10x^4-9x^2-5$ です。

この問題は先に展開しても解けます。$y=2x^5-3x^3-5x$ を微分すると同じ値になり、そのまま検算になります。

問題 2：分子と分母が似た形

$y=\frac{x^2-1}{x^2+1}$ を微分せよ。

解答 2

商の規則を当てます。分子の微分が先です。

$$y^{\prime }=\frac{2x(x^2+1)-(x^2-1)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$$

分子で $2x$ がくくれます。$2x\{(x^2+1)-(x^2-1)\}=2x\times 2=4x$。

$$y^{\prime }=\frac{4x}{(x^2+1{)}^2}$$

くくってから展開すると計算が短くなります。展開を先にすると $x^3$ の項が出て、あとで消える手間が増えます。

問題 3：かっこの累乗

$y=(3x^2+1{)}^5$ を微分せよ。

解答 3

合成の規則です^[2]。外側が $5$ 乗、内側が $3x^2+1$。

$$y^{\prime }=5(3x^2+1{)}^4\cdot 6x=30x(3x^2+1{)}^4$$

展開して微分する道もありますが、$5$ 乗を開くのは現実的ではありません。合成で処理します。

問題 4：根号の中に式

$y=\sqrt{x^2+4}$ を微分せよ。

解答 4

$\sqrt{u}=u^{1/2}$ と見ます。外側の微分は $\frac{1}{2\sqrt{u}}$ です。

$$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x^2+4}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$$

$2$ が約分で消えました。根号の中が $2$ 次式のとき、この約分はよく起きます。

問題 5：三角関数の 2 乗

$y={\sin }^{2}3x$ を微分せよ。

解答 5

$3$ 段の合成です。外側が $2$ 乗、次が $\sin$、内側が $3x$。

$$y^{\prime }=2\sin 3x\cdot \cos 3x\cdot 3=6\sin 3x\cos 3x$$

$2$ 倍角の公式で $y^{\prime }=3\sin 6x$ とも書けます。答えの形は問題文の指定に合わせます。

${\sin }^{2}3x$ を $(\sin 3x{)}^2$ と書き直してから始めると、段の数が数えやすくなります。

問題 6：多項式と指数の積

$y=x^2{e}^{-x}$ を微分せよ。

解答 6

積の規則で、右側の微分に合成が入ります。$(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$ です。

$$y^{\prime }=2x{e}^{-x}+x^2(-e^{-x})=(2x-x^2)e^{-x}=x(2-x)e^{-x}$$

$e^{-x}$ は正なので、導関数の符号は $x(2-x)$ で決まります。$x=0$ と $x=2$ で極値になる形です。

問題 7：対数を分子に持つ分数

$y=\frac{\log x}{x}$ を微分せよ。ただし $x>0$ とする。

解答 7

商の規則です。$(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ を使います。

$$y^{\prime }=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$$

$x=e$ で分子が $0$ になります。この点が極大になる形です。

問題 8：正接の中に式

$y=\tan (x^2)$ を微分せよ。

解答 8

合成の規則です。外側が $\tan$、内側が $x^2$。

$$y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^2(x^2)}\cdot 2x=\frac{2x}{{\cos }^2(x^2)}$$

${\tan }^{2}x$ と $\tan (x^2)$ は別物です。どちらが外側かで公式の当て方が変わります。

問題 9：指数の肩に三角関数

$y=e^{\sin x}$ を微分せよ。

解答 9

外側が $e^u$、内側が $\sin x$ です。$e^u$ は微分しても $e^u$ のまま。

$$y^{\prime }=e^{\sin x}\cos x$$

肩の部分をそのまま残して、その微分を掛けます。$e$ の肩に式が入る形はこの $1$ 手で終わります。

問題 10：対数の中に根号

$y=\log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ を微分せよ。

解答 10

外側が $\log$、内側が $x+\sqrt{x^2+1}$ です。内側の微分に問題 $4$ の結果が使えます。

$$y^{\prime }=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right)$$

かっこの中を通分します。$\frac{\sqrt{x^2+1}+x}{\sqrt{x^2+1}}$ となり、前の分母と約分できます。

$$y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$$

見た目に反して答えが簡単になりました。約分できる形になっているかを、必ず最後に確かめます。

問題 11：三角関数の分数

$y=\frac{\sin x}{1+\cos x}$ を微分せよ。

解答 11

商の規則です。分子の展開で ${\sin }^2+{\cos }^2$ が現れます。

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\frac{\cos x(1+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(1+\cos x{)}^2}\\ & =\frac{\cos x+{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{(1+\cos x{)}^2}=\frac{1+\cos x}{(1+\cos x{)}^2}\end{array}$$

約分して $y^{\prime }=\frac{1}{1+\cos x}$ です。

分子に ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ が出たら $1$ に置きかえる^[3]。三角関数の商ではほぼ毎回この形になります。

問題 12：底が e でない指数

$y=2^{x^2}$ を微分せよ。

解答 12

$(a^u{)}^{\prime }=a^u\log a\cdot u^{\prime }$ です。$\log 2$ が係数として出ます。

$$y^{\prime }=2^{x^2}\log 2\cdot 2x=2x\log 2\cdot 2^{x^2}$$

最も多い誤りは $\log 2$ を落とすことです^[4]。底が $e$ のときだけ $\log e=1$ で消えます。

問題 13：積のあとに引き算

$y=x\log x-x$ を微分せよ。ただし $x>0$ とする。

解答 13

項ごとに分けます。第 $1$ 項は積の規則です。

$$y^{\prime }=\left(\log x+x\cdot \frac{1}{x}\right)-1=\log x+1-1=\log x$$

$1$ が打ち消し合って $\log x$ だけが残りました。この関数は $\log x$ の原始関数にあたります。

問題 14：指数の差

$y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ を微分せよ。

解答 14

定数倍と和に分けます。$(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$ に気をつけます。

$$y^{\prime }=\frac{e^x-(-e^{-x})}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$$

符号が $2$ 回変わって足し算になりました。もとの形と足し算・引き算だけが違う関数が出てきます。

問題 15：立方根

$y=\sqrt[3]{(2x+1{)}^2}$ を微分せよ。

解答 15

指数に直します。$y=(2x+1{)}^{2/3}$ です。

$$y^{\prime }=\frac{2}{3}(2x+1{)}^{-1/3}\cdot 2=\frac{4}{3\sqrt[3]{2x+1}}$$

根号のまま扱おうとすると手が止まります。分数の指数へ直せば、$x^{\alpha }$ の公式が $1$ 本で効きます。

つまずきやすいところ

もう $1$ 問、外側の見分けを確かめます。

外側の演算を見て規則を選び、内側へ降りていく。数学Ⅲ の微分計算は、この順番を守るだけで通ります。

出典