ロピタルの定理はいつ使えるのか？条件を外すと出る誤り

$\frac{0}{0}$ や $\frac{\infty }{\infty }$ の形の極限で、分子と分母を別々に微分して比べる方法があります^[1]。

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

ロピタルの定理です。あてられる形が決まっていて、そこを外すと答えがずれます。

分子も分母も、原点に近づくと $0$ になります。それでも比のほうは $0.5$ に寄っていく。

例 1：2 回続けてあてる

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}$ を計算します。代入すると $\frac{0}{0}$ の形。

分子と分母をそれぞれ微分する。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{2x}$$

まだ $\frac{0}{0}$ のままなので、もう一度あてます。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$$

不定形が消えるまで、繰り返し使えます^[1]。1 回ごとに形を見直してから次へ進む。

使うための条件

3 つがそろってはじめて使えます^[1]。

1 番目を確かめないままあてる誤りが最も多い^[2]。不定形でない式にあてると、まったく違う値になります。

例 2：不定形でない式にあてる

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+1}{x+1}$ を考えます。代入すれば $\frac{2}{2}=1$ です。

ここで分子と分母を微分すると $\frac{2x}{1}$ で、$x=1$ を入れると $2$。代入して求めた $1$ とずれます。

もとの式は不定形でないため、定理の対象から外れていました^[1]。形を見る一手を飛ばすと、そのまま微分へ進んでしまう。

傾きの比として読む

$\sin x$ と $x$ は、原点での傾きがどちらも $1$。比のほうも $1$ に近づきます。

分子と分母を別々に微分する操作は、2 つの曲線をその接線に置きかえることにあたる。

例 3：$1-\cos x$ を $x^2$ で割る

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}$ も $\frac{0}{0}$ です。

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{2x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{2}\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

1 回あてた $\frac{\sin x}{2x}$ がまだ $\frac{0}{0}$ だから、もう 1 回あてて 2 回で終わります。

半角の公式で $1-\cos x=2{\sin }^2\frac{x}{2}$ と書きかえても、同じ値にたどり着く。

$$\frac{2{\sin }^2\frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}{\left(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)}^2$$

かっこの中は $1$ へ向かうため、全体は $\frac{1}{2}$。

例 4：3 回あてる

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}$ は、3 回で不定形が消えます^[3]。

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{3x^2}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{6x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{6}\\ & =\frac{1}{6}\end{array}$$

分母の次数が $3$、$2$、$1$ と下がります。分子のほうも $x-\sin x$、$1-\cos x$、$\sin x$ と、原点での値が $0$ のまま続く。

2 回目の $\frac{\sin x}{6x}$ は $\frac{\sin x}{x}\to 1$ から $\frac{1}{6}$ と読めます。そこで止めても同じ値。

例 5：無限大どうしの比

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{e^x}$ は $\frac{\infty }{\infty }$ の形です。

微分すると $\frac{1}{e^x}$ になり、$0$ に近づく。

分子が $x^{10}$ なら 10 回使うことになります。あてるたびに次数が $1$ ずつ下がり、最後は定数と $e^x$ の比。

例 6：対数と 1 次式

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\log x}{x}$ も $\frac{\infty }{\infty }$ です^[2]。

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\log x}{x}& =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1/x}{1}\\ & =\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}\\ & =0\end{array}$$

微分した分子が $\frac{1}{x}$ で、分母のほうは $1$。1 回で $\frac{\infty }{\infty }$ が消えます。

例 7：$0\times \infty$ を分数に直す

$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x$ は $0$ と $-\infty$ の積で、分数の形になっていません。このままではあてられない^[1]。

$\frac{1}{x}$ を分母に置くと $\frac{\infty }{\infty }$ に変わります。

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to +0}{\lim }x\log x& =\underset{x\to +0}{\lim }\frac{\log x}{1/x}\\ & =\underset{x\to +0}{\lim }\frac{1/x}{-1/x^2}\\ & =\underset{x\to +0}{\lim }(-x)\\ & =0\end{array}$$

$x$ のほうを分母へ送ると $\frac{x}{1/\log x}$ になり、微分が込み入ります。$\log x$ を分子に残す向きを選ぶ。

この極限から $x^x$ の行き先も決まる。$x^x=e^{x\log x}$ と書けば、指数が $0$ へ向かい、全体は $1$ に近づきます^[2]。

例 8：$\infty -\infty$ を分数に直す

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)$ は差の形で、分子も分母もありません。

$t=\frac{1}{x}$ と置くと、$x\to \infty$ は $t\to +0$ に変わります。$x>0$ だから $\sqrt{x^2+x}=x\sqrt{1+t}$ で、式は次の形になる。

$$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}$$

$t\to +0$ で $\frac{0}{0}$ です。分母の $t$ を微分すると $1$ になるため、分子の導関数がそのまま残ります。

$$\begin{array}{rl}\underset{t\to +0}{\lim }\frac{\sqrt{1+t}-1}{t}& =\underset{t\to +0}{\lim }\frac{1}{2\sqrt{1+t}}\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

分子を有理化しても同じ値。$\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$ の分母と分子を $x$ で割ると $\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}$ になり、$\frac{1}{2}$ にたどり着きます。

例 9：1 回で不定形が消える

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x^2}$ は $\frac{0}{0}$ です。1 回あてると $\frac{\cos x}{2x}$ になります。

分子は $1$ へ、分母は $0$ へ向かう。不定形ではないため、使えるのは 1 回だけです。$x\to +0$ なら $+\infty$、$x\to -0$ なら $-\infty$ で、両側の極限はない。

形を見ずにもう一度あてると $\frac{-\sin x}{2}$ になり、$0$ という値が現れます。もとの式は $0$ に近づかないため、この $0$ は誤りです。

商の微分とは別物

$\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ は、商の微分公式の $\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ とは別の式です。

ロピタルの定理は分子と分母をそれぞれ微分して、新しい分数を作る。もとの関数を微分した式ではありません。

$\frac{\sin x}{x}$ で見比べると、商の微分は $\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$、あてた形は $\frac{\cos x}{1}$。式そのものが違います。

使えない例

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+\sin x}{x}$ を考えます。$\frac{\infty }{\infty }$ の形。

微分すると $\frac{1+\cos x}{1}$ になり、この極限は存在しません。$0$ と $2$ のあいだで振動するためです。

ところが、もとの式の極限は $1$。$\frac{\sin x}{x}\to 0$ から分かります。

条件の 3 番目が崩れると、定理は何も言いません^[2]。使えないだけで、極限がないことにはならない。

整理

あてられる形は $\frac{0}{0}$ と $\frac{\infty }{\infty }$ の 2 つで、ほかの不定形は、そのどちらかへ書き直してから使います。

参考