ロピタルの定理はいつ使えるのか？条件を外すと出る誤り

$\frac{0}{0}$ や $\frac{\infty }{\infty }$ の形の極限で、分子と分母を別々に微分して比べる方法があります^[1]。

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$$

ロピタルの定理です。便利ですが、使える場面が限られています。

分子も分母も、原点に近づくと $0$ になります。それでも比は $0.5$ という値に寄っていく。

例：2 回続けて使う

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}$ を計算します。代入すると $\frac{0}{0}$ です。

$1$ 回微分します。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{2x}$$

まだ $\frac{0}{0}$ なので、もう一度使います。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x}{2}=\frac{1}{2}$$

不定形が解消するまで、繰り返し使えます^[1]。毎回、形を確かめてから進めます。

使うための条件

$3$ つがそろってはじめて使えます^[1]。

$1$ 番目を確かめずに使うのが、いちばん多い誤りです。不定形でない式に当てると、まったく違う値が出ます。

例：不定形でない式に当てる

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+1}{x+1}$ を考えます。代入すれば $\frac{2}{2}=1$ です。

ここで分子と分母を微分すると $\frac{2x}{1}$ となり、$x=1$ で $2$。答えが違います。

不定形でないので、そもそも定理の対象外でした。形を確かめる一手を飛ばすと、こうなります。

$\sin x$ と $x$ は、原点でどちらも $0$。傾きはどちらも $1$ です。

$0$ に近いところでは、曲線を接線で置きかえてよい。すると比は、傾きの比に近づきます。これがこの定理の見立てです。

例：無限大どうしの比

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x}{e^x}$ は $\frac{\infty }{\infty }$ の形です。

微分すると $\frac{1}{e^x}$ となり、$0$ に近づきます^[1]。

$x^{10}$ なら $10$ 回使うことになります。毎回次数が $1$ ずつ下がり、最後は定数と $e^x$ の比。

使えない例

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+\sin x}{x}$ を考えます。$\frac{\infty }{\infty }$ の形です。

微分すると $\frac{1+\cos x}{1}$ になり、この極限は存在しません。$0$ と $2$ のあいだで振動するためです。

ところが、もとの式の極限は $1$ です。$\frac{\sin x}{x}\to 0$ から分かります。

条件の $3$ 番目が崩れると、定理は何も言いません。「使えない」だけで、「極限がない」わけではない^[2]。

高校の答案で使えるか

教科書には出てこないので、答案で使うと説明が要ります。定理の名前を書いても、証明が求められる場合がある。

検算には使えます。はさみうちや置きかえで解いたあと、答えが合うかを確かめる道具として。

$\frac{\sin x}{x}\to 1$ をロピタルで示すのは、実は循環論法です。この極限を使って $\sin$ の微分を導いたので、順序が逆になります。

押さえるところ

強力なぶん、条件を外した使い方も目立ちます。形の確認を毎回はさむことが、いちばんの対策になります。

参考文献