絶対値を含む関数の微分、折れ目でつながらない傾き

絶対値を含む関数は、中身の符号で場合分けしてから微分します。$|A|$ は $A\ge 0$ なら $A$、$A<0$ なら $-A$。

分けた境目では、左右の傾きが違うことがあります。そこが折れ目になり、微分できません^[1]。

薄い放物線の、$x$ 軸より下の部分を折り返した形です。$x=\pm 1$ に折れ目ができます。

その $2$ 点を通るとき、接線の傾きが飛びます。左から近づいた値と右からの値が違うためです。

例：場合分けして微分する

$y=|x^2-1|$ を扱います。中身の符号で $2$ つに分けます。

$|x|\ge 1$ のとき $y=x^2-1$ なので $y^{\prime }=2x$。$|x|<1$ のとき $y=1-x^2$ なので $y^{\prime }=-2x$。

$x=1$ での左右を比べます。左からは $-2\times 1=-2$、右からは $2\times 1=2$。

値が違うので、$x=1$ では微分できません。$x=-1$ でも同じことが起こります。

増減と極値

$3$ つの区間で符号を調べます。

$x=0$ で極大、値は $1$ です。$x=\pm 1$ では極小で、値は $0$。

折れ目でも極値になります。微分できなくても、増減が変わる点は極値の候補です^[2]。

折れ目がない場合もある

$y=x|x|$ を見ます。$x\ge 0$ なら $x^2$、$x<0$ なら $-x^2$。

左右の微分係数を計算すると、どちらも $0$ です。一致するので、原点でも微分できます。

$$y^{\prime }=2|x|$$

絶対値が付いていても、折れ目ができるとは限りません。左右の傾きを確かめる作業が必要です。

$\sin x$ が $0$ になる位置に、折れ目が並びます。周期が半分になった形です。

$y=|\sin x|$ の周期は $\pi$。$\sin$ の $2\pi$ から半分に縮みます。

最大最小では折れ目も候補

閉区間で最大最小を求めるとき、候補は $3$ 種類です^[2]。

$2$ 番目を忘れると、答えを落とします。$y=|x^2-1|$ の $x=\pm 1$ がその例で、そこが最小値です。

例：区間を決めて最大最小を求める

$y=|x^2-1|$ を $-2\le x\le 2$ で調べます。候補を並べます。

$y^{\prime }=0$ になるのは $x=0$ で、値は $1$。折れ目は $x=\pm 1$ で、値は $0$。端は $x=\pm 2$ で、値は $3$。

最大値は $3$、最小値は $0$ です。極大値の $1$ は、最大値ではありません。

絶対値の外し方

中身が $0$ になる点で、数直線を区切ります。区間ごとに符号を決めて、絶対値を外す。

$|x-1|+|x-2|$ のように $2$ つあるときは、$x=1$ と $x=2$ で $3$ つの区間に分かれます。

区間ごとに $1$ 次式や $2$ 次式になるので、あとは通常の増減の話です^[3]。

押さえるところ

場合分けの境目を数直線に書き出してから始めると、区間の数え落としが減ります。

参考文献