定義の式に代入して h を消す（数学Ⅲの導関数を定義から求める）

公式を使わずに $x^2$ を微分すると、$\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=2x+h$ になります。$h$ を $0$ に近づけて $2x$。

これが導関数の定義です^[1]。分母の $h$ が消える形まで分子を変形できれば、あとは代入するだけになります。

$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

分母の h をどう消すか

分子と分母の両方が $0$ へ行くので、そのまま代入できません。分子から $h$ をくくり出して約分する必要があります。

くくり出し方は関数の形で決まります。多項式なら展開、分数なら通分、根号なら有理化、三角関数なら加法定理です。

割線が接線へ近づく

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ は、$2$ 点を結ぶ直線の傾きです。$h$ を小さくすると、この直線が接線へ回っていきます^[1]。

傾きの数値が $2.2$ へ寄っていきます。$y=x^2$ の $x=1.1$ での接線の傾きです。

問題 1：2 次関数

定義に従って $f(x)=x^2$ の導関数を求めよ。

解答 1

分子を展開します。$x^2$ が打ち消し合い、残る項はすべて $h$ を含みます。

$$\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h$$

$h\to 0$ として $f^{\prime }(x)=2x$ です。約分してから代入するところが手順の全部になります。

問題 2：3 次関数から一般の n 乗へ

定義に従って $f(x)=x^3$ の導関数を求め、$x^n$ の場合を予想せよ。

解答 2

$(x+h{)}^3=x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3$ です。$x^3$ が消えます。

$$\frac{3x^{2}h+3x{h}^2+h^3}{h}=3x^2+3xh+h^2⟶3x^2$$

$x^n$ でも同じです。二項定理で展開すると、$h$ が $1$ 乗の項が $n{x}^{n-1}h$、それ以上は $h^2$ 以上を含みます。

割ったあと $h$ が残る項は全部消えるので、$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$ が出ます^[2]。

問題 3：分数関数

定義に従って $f(x)=\frac{1}{x}$ の導関数を求めよ。

解答 3

分子を通分します。$2$ つの分数の差が $1$ つにまとまる。

$$\frac{1}{h}\left(\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{h}\cdot \frac{-h}{x(x+h)}=\frac{-1}{x(x+h)}$$

$h\to 0$ で $f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$ です。

通分した瞬間に分子が $-h$ になり、外の $\frac{1}{h}$ と約分されます。分数では通分が $h$ を作る操作にあたります。

問題 4：根号

定義に従って $f(x)=\sqrt{x}$ の導関数を求めよ。ただし $x>0$ とする。

解答 4

分子に $\sqrt{x+h}+\sqrt{x}$ を掛けて有理化します。分母にも同じものを掛けます。

$$\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{(x+h)-x}{h\left(\sqrt{x+h}+\sqrt{x}\right)}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$$

$h$ が約分で消えました。$h\to 0$ として $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ です。

$x=0$ では $\sqrt{h}/h=1/\sqrt{h}$ が無限大へ行きます。原点で微分できないのはそのためです。

問題 5：正弦関数

定義に従って $f(x)=\sin x$ の導関数を求めよ。

解答 5

加法定理で $\sin (x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h$ と開きます^[3]。

$$\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\sin x\cdot \frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot \frac{\sin h}{h}$$

$\frac{\sin h}{h}\to 1$ は既知として、$\frac{\cos h-1}{h}$ を出します。分子に $\cos h+1$ を掛けます。

$$\frac{\cos h-1}{h}=\frac{-{\sin }^{2}h}{h(\cos h+1)}=-\frac{\sin h}{h}\cdot \frac{\sin h}{\cos h+1}⟶-1\times 0=0$$

したがって $f^{\prime }(x)=\sin x\times 0+\cos x\times 1=\cos x$ です。

問題 6：余弦関数

定義に従って $f(x)=\cos x$ の導関数を求めよ。

解答 6

こちらも加法定理です。$\cos (x+h)=\cos x\cos h-\sin x\sin h$。

$$\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}=\cos x\cdot \frac{\cos h-1}{h}-\sin x\cdot \frac{\sin h}{h}$$

問題 $5$ で出した $2$ つの極限をそのまま使うと、$\cos x\times 0-\sin x\times 1=-\sin x$。

$\sin$ と $\cos$ で符号だけが変わります。加法定理の中の符号がそのまま残った形です。

問題 7：指数関数

定義に従って $f(x)=e^x$ の導関数を求めよ。

解答 7

指数法則で $e^{x+h}=e^x{e}^h$ と分けます。$e^x$ が外へ出ます。

$$\frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\cdot \frac{e^h-1}{h}$$

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=1$ なので $f^{\prime }(x)=e^x$ です^[4]。

この極限が $1$ になる底が $e$ の定義です。$2^x$ や $3^x$ では $1$ 以外の定数が残り、そのぶんだけ導関数に係数が付きます。

問題 8：対数関数

定義に従って $f(x)=\log x$ の導関数を求めよ。ただし $x>0$、底は $e$ とする。

解答 8

対数の差を $1$ つにまとめます。

$$\frac{\log (x+h)-\log x}{h}=\frac{1}{h}\log \left(1+\frac{h}{x}\right)$$

$\frac{1}{h}=\frac{1}{x}\cdot \frac{x}{h}$ と分け、指数の側へ移します。

$$=\frac{1}{x}\log {\left(1+\frac{h}{x}\right)}^{x/h}⟶\frac{1}{x}\log e=\frac{1}{x}$$

$\frac{x}{h}=t$ と置くと ${\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t\to e$ の形になります。$e$ の定義がそのまま効いています。

微分できるなら連続

定義から $1$ つ言えることがあります。$f^{\prime }(a)$ が存在するなら、$f$ は $x=a$ で連続です^[1]。

$$f(a+h)-f(a)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\times h⟶f^{\prime }(a)\times 0=0$$

差が $0$ へ行くので、$f(a+h)$ が $f(a)$ へ近づきます。これが連続の定義です。

逆は成り立ちません。$|x|$ は $x=0$ で連続ですが、左右の差分商が $-1$ と $1$ で食い違います。

公式を覚えたあとでも、定義に戻る場面は残ります。見慣れない極限が出たとき、それが差分商の形になっていることは多い。

分母の $h$ を約分できる形まで分子を変形する。定義から求める計算は、この一点に尽きます。

参考文献