ニュートン法 - 接線をたどって方程式の解に近づく

方程式 $f(x)=0$ の解を、接線をたどって近づける方法があります^[1]。

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$

いまの点で接線を引き、その直線が $x$ 軸と交わる位置を次の点にする。それだけの手順です。

$x=2$ から始めて、接線を引くたびに解へ寄っていきます。$4$ 回で小数第 $9$ 位まで合う。

式の作り方

点 $(x_n,f(x_n))$ での接線を書きます^[2]。

$$y=f(x_n)+f^{\prime }(x_n)(x-x_n)$$

$y=0$ とおいて $x$ について解きます。それが次の点です。

$$0=f(x_n)+f^{\prime }(x_n)(x-x_n),x=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$

曲線を接線で置きかえて解く、という発想です。近似式と同じ考え方が土台にあります^[2]。

例：√2 を求める

$f(x)=x^2-2$ とします。$f^{\prime }(x)=2x$ なので、漸化式は次のようになります。

$$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)$$

$x_0=2$ から始めます^[1]。

正しい桁数が、毎回およそ倍になっています。$1$ 桁、$3$ 桁、$6$ 桁、$12$ 桁という増え方です。

棒の高さが、合っている桁数です。$1$ 回進むごとに倍になるので、数回で電卓の表示を超えます。

差を半分ずつ縮める方法と比べると、桁違いに速い。接線という $1$ 次近似を使っているのに、精度は $2$ 次で上がります。

うまくいかない場合

いつでも解に届くわけではありません^[1]。

$f(x)=x^3-2x+2$ を $x_0=0$ から始めると、$0$ と $1$ を交互に往復します^[1]。

$f(0)=2$、$f^{\prime }(0)=-2$ なので $x_1=1$。$f(1)=1$、$f^{\prime }(1)=1$ なので $x_2=0$。振り出しに戻る形です。

図をかいてから始める

出発点の選び方が結果を左右します。解のおおよその位置を、グラフか中間値の定理で押さえておく。

$f(a)$ と $f(b)$ の符号が違えば、そのあいだに解があります。その区間の中から出発点を選ぶと、外しにくい。

$f^{\prime }$ の符号が変わらない区間を選ぶのも有効です。増減が一方向なら、行き先が $1$ つに決まります。

極限として見る

$x_{n+1}=f(x_n)$ の形なので、漸化式の極限として扱えます。行き先は $\alpha =f(\alpha )$ を満たす値です^[3]。

$\frac{1}{2}\left(\alpha +\frac{2}{\alpha }\right)=\alpha$ を解くと ${\alpha }^2=2$。求めたかった値そのものが出ます。

平均値の定理で差を評価する方法も使えます。ただしニュートン法では、差が $2$ 乗で縮むという、もっと強い評価が成り立ちます。

押さえるところ

電卓の平方根キーの中身も、これに近い計算です。接線という単純な道具で、これだけの精度が出ることが面白いところ。

参考文献