媒介変数の曲線は「t の増減表」でどこまで描けるのか

媒介変数で表された曲線では、$x$ と $y$ を別々に追います。$t$ で微分した $2$ つの符号を並べた表が、そのまま概形の設計図になります^[1]。

$$\frac{dx}{dt}\text{の符号},\frac{dy}{dt}\text{の符号}$$

$x$ が増えているか減っているか、$y$ が増えているか減っているか。$2$ つの向きを組み合わせると、点がどちらへ進むかが決まります。

$t$ を進めると、点は左へ動いてから右へ折り返します。$x$ が減ってから増える向きに変わる瞬間が、いちばん左の点です。

対称性を先に調べる

$t$ を別の値に置きかえて、$x$ と $y$ がどう変わるかを見ます。手数が半分になることも多い。

$x=t^2-1$、$y=t^3-3t$ なら、$t$ を $-t$ にすると $x$ はそのまま、$y$ は符号が反転。$x$ 軸について対称と分かります。

対称なら、$t\ge 0$ の側だけ調べて折り返せば済みます。

t の増減表を作る

$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ の $0$ になる点で、区間を区切ります。

$$\frac{dx}{dt}=2t,\frac{dy}{dt}=3t^2-3=3(t+1)(t-1)$$

区切りは $t=-1,0,1$ です。この $4$ 区間で、$2$ つの符号を並べます。

$2$ 段の符号を読むと、点の進む向きが $4$ 通りに分かれます。左上へ、左下へ、右下へ、右上へ。

$t=0$ では $\frac{dx}{dt}=0$ なので、接線が縦を向きます。$t=\pm 1$ では $\frac{dy}{dt}=0$ で、接線は横向き^[2]。

例：通る点を書き出す

区切りの $t$ に対応する点を計算します。表と図を結びつける作業です。

最後の行が節点です。違う $t$ の値が同じ点を指しているので、曲線が自分自身と交わります。

尖点と節点

$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ が同時に $0$ になる点では、曲線がとがることがあります。尖点と呼ばれる形です。

サイクロイドが地面に触れる瞬間がその例。速度が $0$ になり、向きが急に変わります。

節点は別の現象です。$2$ つの異なる $t$ が同じ点を指すときに起こります。接線は $2$ 本あり、どちらもなめらか^[3]。

接線が特別になる点

描く手順

$y$ を $x$ の式に直す必要はありません。$2$ つの増減を並べるだけで、形が決まります。

対称性と増減表。この $2$ つがそろえば、見たことのない曲線でも形が出せます。

参考文献