両辺の対数をとると指数が下りてくる - 対数微分法と x の x 乗

$y=x^x$ には、使える公式がありません。$x^{\alpha }$ は指数が定数、$a^x$ は底が定数。どちらも底と指数の両方に $x$ がある形を扱えません^[3]。

両辺の対数をとると、指数が前へ下りてきます。

$$\log y=x\log x$$

右辺はただの積になりました。あとは両辺を微分して、最後に $y$ を掛け戻すだけです。

3 つの手順

やることは決まっています。対数をとり、微分し、$y$ を掛け戻す^[1]。

左辺 $\log y$ を $x$ で微分すると、合成の規則から $\frac{y^{\prime }}{y}$ になります^[2]。ここが仕掛けの中心です。

問題 1：x の x 乗

$y=x^x$（$x>0$）を微分せよ。

解答 1

対数をとると $\log y=x\log x$。右辺は積なので、積の規則で微分します。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\log x+x\cdot \frac{1}{x}=\log x+1$$

両辺に $y=x^x$ を掛けます。

$$y^{\prime }=x^x(\log x+1)$$

$y^{\prime }=0$ になるのは $\log x=-1$、つまり $x=\frac{1}{e}$ のときです^[3]。そこが最小値になります。

最小値は ${\left(\frac{1}{e}\right)}^{1/e}=e^{-1/e}$ で、$0.6922$ ほどです。

$x\to 0$ では $x^x\to 1$ に近づきますが、$\log x+1$ が $-\infty$ へ行くので傾きは立ちます^[3]。

問題 2：指数に三角関数

$y=x^{\sin x}$（$x>0$）を微分せよ。

解答 2

$\log y=\sin x\log x$ です。右辺は積なので、積の規則を当てます。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\cos x\log x+\sin x\cdot \frac{1}{x}$$

$y$ を掛け戻します。

$$y^{\prime }=x^{\sin x}\left(\cos x\log x+\frac{\sin x}{x}\right)$$

$x^{\sin x}$ をそのまま前に置くだけ。展開する必要はありません。

問題 3：底に三角関数

$y=(\sin x{)}^x$（$0<x<\pi$）を微分せよ。

解答 3

$\log y=x\log (\sin x)$ です。右辺の第 $2$ 因子が合成になります。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\log (\sin x)+x\cdot \frac{\cos x}{\sin x}$$

$\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}$ なので、次のようにまとまります。

$$y^{\prime }=(\sin x{)}^x\left(\log (\sin x)+\frac{x}{\tan x}\right)$$

底と指数のどちらに $x$ が入っていても、手順は変わりません。

問題 4：因子が多い積と商

$y=\frac{(x-1{)}^2(x+2{)}^3}{(x+1{)}^4}$ を微分せよ。

解答 4

商と積の公式で押すと、分子が $6$ 次まで膨らみます。対数をとると和と差に割れます。

$$\log |y|=2\log |x-1|+3\log |x+2|-4\log |x+1|$$

各項を微分すると、分母が $1$ 次式の分数が並ぶだけになります。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}-\frac{4}{x+1}$$

$$y^{\prime }=\frac{(x-1{)}^2(x+2{)}^3}{(x+1{)}^4}\left(\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+2}-\frac{4}{x+1}\right)$$

指数がそのまま係数に落ちます。因子が $3$ つ以上あるときは、この道のほうが速い。

問題 5：根号の中の分数

$y=\sqrt[3]{\frac{x^2+1}{x^2-1}}$（$|x|>1$）を微分せよ。

解答 5

$\frac{1}{3}$ 乗と見て対数をとります。根号も商も、対数の中では和と差になります。

$$\log y=\frac{1}{3}\left\{\log (x^2+1)-\log (x^2-1)\right\}$$

微分して通分します。

$$\begin{array}{rl}\frac{y^{\prime }}{y}& =\frac{1}{3}\left(\frac{2x}{x^2+1}-\frac{2x}{x^2-1}\right)\\ & =\frac{2x}{3}\cdot \frac{-2}{(x^2+1)(x^2-1)}=\frac{-4x}{3(x^2+1)(x^2-1)}\end{array}$$

$y$ を掛け戻して終わりです。根号のまま合成と商を当てると、途中式が何倍にも長くなります。

問題 6：指数が x 分の 1

$y=x^{1/x}$（$x>0$）を微分せよ。

解答 6

$\log y=\frac{\log x}{x}$ です。右辺は商なので、商の規則を当てます。

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$$

したがって $y^{\prime }=x^{1/x}\cdot \frac{1-\log x}{x^2}$。

$y^{\prime }=0$ は $\log x=1$ のときで、$x=e$ が極大です。$e^{1/e}$ が $x^{1/x}$ の最大値になります。

対数微分の正体

$\frac{y^{\prime }}{y}$ という量には名前があります。$\log |y|$ を微分したものです^[3]。

$$\frac{d}{dx}\log |f(x)|=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$$

これを裏返すと、$f^{\prime }(x)=f(x)\cdot \frac{d}{dx}\log f(x)$。関数そのものと、その対数の傾きの積として微分が書けます。

問題 7：積の公式を対数から導く

対数微分法を使って、積の微分公式 $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ を導け。

解答 7

$y=fg$ の両辺の対数をとります。積が和に割れます。

$$\log |y|=\log |f|+\log |g|$$

微分すると $\frac{y^{\prime }}{y}=\frac{f^{\prime }}{f}+\frac{g^{\prime }}{g}$ です。$y=fg$ を掛け戻します。

$$y^{\prime }=fg\left(\frac{f^{\prime }}{f}+\frac{g^{\prime }}{g}\right)=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$$

積の公式が出ました。商の場合は $\log |f|-\log |g|$ から始めれば、同じ手順で $\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ になります。

絶対値をつけるかどうか

$\log$ の中は正でなければなりません。$y$ が負になりうるときは $\log |y|$ とします。

$(\log |x|{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ が $x<0$ でも成り立つので、微分した式の形は変わりません。

底と指数の両方に $x$ がある形では、そもそも $x>0$ が前提です。この場合は絶対値が要りません。

上のどれかに当たったら、対数をとる道を先に考えます。

もう $1$ 問、掛け戻しを確かめます。

対数をとって和に割り、微分して、掛け戻す。指数に $x$ が入っている形は、この $3$ 段で全部片づきます。

参考文献