リサジュー曲線と対数螺旋、周期の比と一定の角度で決まる形

$x$ と $y$ を別々の周期で振らせると、閉じた模様が描けます。リサジュー曲線と呼ばれる形です^[1]。

$$x=a\sin (pt),y=b\sin (qt+\delta )$$

$p$ と $q$ の比が形を決めます。比が整数どうしなら閉じた図形になり、そうでなければいつまでも閉じません^[1]。

比が $1$ 対 $1$ なら円、$1$ 対 $2$ なら $8$ の字。比の数だけ、横と縦の山ができます^[1]。

例：8 の字を調べる

$x=2\sin t$、$y=2\sin 2t$ を扱います。$t$ で微分します。

$$\frac{dx}{dt}=2\cos t,\frac{dy}{dt}=4\cos 2t$$

$\frac{dx}{dt}=0$ は $t=\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}$ で、そこでは接線が縦向き。

$\frac{dy}{dt}=0$ は $t=\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$ で、接線は横向きです。

$t=0$ と $t=\pi$ は、どちらも原点を指します。曲線が自分と交わる節点で、接線が $2$ 本ある。

赤い点で曲線が交わります。同じ場所を $2$ 回通るので、接線も $2$ 本引ける^[3]。

対数螺旋

もう $1$ つ、指数関数と三角関数を組み合わせた曲線があります^[2]。

$$x=e^{\theta }\cos \theta ,y=e^{\theta }\sin \theta$$

極座標なら $r=e^{\theta }$ です。角が進むほど、原点からの距離が指数的に伸びていきます。

原点から点へ引いた線と、その点での接線。$2$ 本のなす角が、どこで測っても変わりません^[2]。

等角性を微分で示す

$r=e^{k\theta }$ とします。媒介変数の形で微分します。

$$\frac{dx}{d\theta }=e^{k\theta }(k\cos \theta -\sin \theta ),\frac{dy}{d\theta }=e^{k\theta }(k\sin \theta +\cos \theta )$$

$k=\tan \alpha$ とおくと、括弧の中は $\frac{1}{\cos \alpha }$ 倍の回転になります。速度の向きは $\theta +\frac{\pi }{2}-\alpha$。

動径の向きは $\theta$ なので、差は $\theta$ に依存しません。角が一定になる理由です。

$k=1$ のときは $\tan \alpha =1$ で、なす角は $45$ 度。オウムガイの殻や台風の渦が、この形に近いと言われます。

2 つの曲線の共通点

どちらも $x$ と $y$ を別々の式で与え、$t$ や $\theta$ を進めて点を追います。

リサジューは周期の比、対数螺旋は動径と接線の角。それぞれ、形を決める量が $1$ つに絞られている^[3]。

増減表を作るときの注意

リサジューでは、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ が $0$ になる $t$ が多く出ます。$1$ 周ぶんを表に収めると横に長くなる。

対称性を先に調べると短く済みます。$x=2\sin t$、$y=2\sin 2t$ なら、$t\to \pi -t$ で $x$ が変わらず $y$ が符号を変えます。

対数螺旋では $\frac{dx}{d\theta }=0$ が $\tan \theta =k$ を満たす角で起こります。$\theta$ が $\pi$ 進むごとに現れ、無限に続きます。

押さえるところ

見慣れない曲線でも、やることは $\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ の符号調べです。形の名前より、手順のほうが大事になります。

参考文献