ハイネ・ボレル、有界閉集合とコンパクトが一致する条件

${\mathbb{R}}^n$ では、コンパクトであることと、有界な閉集合であることが同値になります^[1]。ハイネ・ボレルの定理です。

この同値は ${\mathbb{R}}^n$ だけの話。距離空間を一般にとると、有界閉集合がコンパクトにならない例がいくらでも出てきます^[3]。

コンパクトの定義

位相空間 $X$ がコンパクトであるとは、どの開被覆にも有限部分被覆があることです^[4]。

開被覆とは、和が $X$ になる開集合の族。そこから有限個だけ選んでも、まだ $X$ を覆えるかどうかを問います。

有界とも閉とも書いていない点に注意が向きます。定義は覆いかたの話で、大きさの話ではありません。

例：有界でもコンパクトでない

$(0,1)$ を $\mathbb{R}$ の部分空間として見ます。有界ですが、コンパクトではない^[4]。

$$\mathcal{U}=\left\{\left(\frac{1}{n},1\right)|n\in \mathbb{N}\right\}$$

この族は $(0,1)$ の開被覆です。どの点 $x$ も、$\frac{1}{n}<x$ となる $n$ をとれば覆われる。

有限個だけ選ぶと、$n$ の最大値 $N$ で止まります。覆えるのは $\left(\frac{1}{N},1\right)$ までで、左側が残る。

閉じていないことが効いています。$0$ を足して $[0,1]$ にすると、この被覆はそもそも $0$ を覆えなくなる。

主張

$K\subseteq {\mathbb{R}}^n$ について、次の $2$ つが同値です^[1,2]。

多変数の微分積分では、こちらの $2$ 番目をコンパクトの定義として習うことがあります。同値なので困りませんが、定義そのものではない。

にじり寄る証明

まず $[0,1]$ がコンパクトなことを示します^[4]。左から少しずつ攻めていく証明です。

開被覆 $\mathcal{U}$ をとります。$[0,s]$ が $\mathcal{U}$ の有限個で覆えるような $s\in [0,1]$ を全部集めて、$B$ とおく。

$0\in B$ は明らか。$B$ は $1$ で上に有界なので、上限 $b$ があります。この $b$ が $1$ だと言えれば終わりです。

$b\in B$ が言えます。$b$ を含む $U\in \mathcal{U}$ をとると、$(b-\epsilon ,b+\epsilon )\subseteq U$ となる $\epsilon$ がある。

上限の定義から $(b-\epsilon ,b]\cap B$ に点 $s$ があり、$[0,s]$ は有限個で覆えます。そこへ $U$ を $1$ 枚足せば $[0,b]$ が覆える。

次に $s\in B$ で $s<1$ なら、もっと右まで進めることを見ます。$s$ を含む $U_N$ の中で少し右へ動いた点 $t$ をとれば、同じ有限個で $[0,t]$ が覆えます。

$b<1$ だとすると、$b\in B$ からさらに右の $t\in B$ がとれてしまう。$b$ が上限であることに反します。よって $b=1$ です。

コンパクトなら有界で閉

逆向きを $2$ つに分けます^[4]。$K$ がコンパクトだとする。

有界性は、$\{(-n,n)\mid n\in \mathbb{N}\}$ で覆えば出ます。有限個で足りるなら、最大の $N$ について $K\subseteq (-N,N)$ です。

閉であることは、ハウスドルフ性から出ます。ハウスドルフ空間のコンパクト部分集合は、いつでも閉集合になる^[4]。

${\mathbb{R}}^n$ がハウスドルフなので、コンパクトな部分集合は閉。ここでハウスドルフを使っている点が、あとの反例につながります。

有界で閉ならコンパクト

$K$ が有界なら、ある $N$ で $K\subseteq [-N,N{]}^n$ です。

$[-N,N{]}^n$ はコンパクト。閉集合を含む向きでは、コンパクト空間の閉部分集合はコンパクトになります^[4]。

$K$ は $[-N,N{]}^n$ の閉部分集合なので、コンパクトです。

高次元は二分法で

$[0,1{]}^n$ のコンパクト性は、立方体を割っていく方法で示せます^[4]。

有限部分被覆がないと仮定します。各辺を半分にして $2^n$ 個の小立方体に分けると、そのうち少なくとも $1$ つは有限個で覆えない。

その $1$ つをまた $2^n$ 個に割り、同じことを続けます。辺の長さが $\frac{1}{2^k}$ の入れ子の立方体列ができる。

各 $K_k$ から点を $1$ つずつとるとコーシー列になり、ある $x$ に収束します。$x$ を覆う $U$ が $1$ 枚あり、$k$ を大きくすれば $K_k\subseteq U$ になる。

$K_k$ が有限個で覆えないという仮定に反します。$1$ 枚で覆えてしまうので。

系：最大値と最小値

コンパクト空間の上の連続な実数値関数は、有界で、最大値と最小値をとります^[4]。

$[a,b]$ 上の連続関数についての最大値・最小値の定理が、この系にあたる。微分積分で習う定理の位相的な理由がここにあります。

距離空間では崩れる

同値が成り立つのは ${\mathbb{R}}^n$ にかぎります^[2,3]。

無限集合に離散距離を入れると、どの部分集合も閉で有界です。ところがコンパクトなのは有限集合だけ^[3]。$1$ 点集合の被覆に有限部分被覆がありません。

$\mathbb{Q}$ の中で $[0,\sqrt{2}]\cap \mathbb{Q}$ をとると、$\mathbb{Q}$ の中では閉で有界です。それでもコンパクトではない。完備でないところに穴があります。

無限次元のノルム空間では、閉単位球がコンパクトになりません^[2]。実数係数の多項式全体の空間が、その例として挙げられます。

正しい一般化

距離空間では、コンパクト性は次と同値になります^[1,3]。

全有界とは、どの $\epsilon >0$ についても、半径 $\epsilon$ の球を有限個ならべれば覆いきれることです。有界より強い条件になります。

${\mathbb{R}}^n$ では、有界であることと全有界であることが一致します。だから「有界かつ閉」で足りる。閉であることが、完備な空間の中で完備性を保証します。

離散距離の空間は完備ですが全有界ではありません。$\mathbb{Q}$ の閉区間は全有界ですが完備ではない。それぞれ片方だけを欠いています。

リースの定理

ノルム空間で閉単位球がコンパクトになるのは、有限次元のときにかぎります^[2]。

無限次元だと、互いの距離が $1$ 以上ある点列を無限にとれる。そこから収束する部分列は選べません。

有限次元でしか成り立たない、というハイネ・ボレルの限界が、この定理で言い切られています。

歴史

ハイネ・ボレル性

有界閉集合がすべてコンパクトになる距離空間を、ハイネ・ボレル性を持つといいます^[3]。

${\mathbb{R}}^n$ はこの性質を持ちます。無限次元のバナッハ空間は、どれも持ちません。

性質に名前が付いているのは、成り立たない空間のほうが多いためです。

有界と全有界の距離が、そのまま定理の適用範囲になっています。

よくある誤り

有界かつ閉、という覚え方はどこで通じるか。${\mathbb{R}}^n$ の中だけ、と押さえておけば、距離空間へ進んだときに迷いません。

参考文献

^[1] が定理の証明と距離空間への一般化、^[2] が無限次元での反例とリースの定理、^[3] が離散距離の反例とハイネ・ボレル性、^[4] がにじり寄る証明と二分法による証明の詳細です。