第一可算公理と第二可算公理〜近傍の列と基底で位相の大きさを測る

$\mathbb{R}$ では、点 $x$ が $A$ の閉包に入ることと、$A$ の点列が $x$ に収束することが同値になります。一般の位相空間では、この同値が崩れる^[4]。

崩れない空間を切り分ける条件が第一可算公理です。もう $1$ つ、空間全体の大きさを測る第二可算公理があり、こちらのほうが強い^[2]。

局所基底

点 $x$ における局所基底とは、$x$ を含む開集合の族 ${\mathcal{B}}_x$ で、次をみたすものです^[4]。

$x$ のまわりの開集合を全部調べる代わりに、${\mathcal{B}}_x$ の中だけ調べればよくなる。近傍のふるまいを、少数の代表で言いかえる仕組みです。

$\mathbb{R}$ なら $\{(a,b)\mid a<x<b\}$ が局所基底になります。もっと絞れる。

$${\mathcal{B}}_x=\left\{\left(x-\frac{1}{n},x+\frac{1}{n}\right)|n\in \mathbb{N}\right\}$$

こちらは可算個しかありません。どんな開区間が来ても、$n$ を大きくすれば中に入る。

第一可算公理

どの点にも可算な局所基底があるとき、その空間は第一可算だといいます^[1,4]。

距離空間はすべて第一可算です。半径 $\frac{1}{n}$ の球を並べれば足りる。

ゾルゲンフライ直線も第一可算になります。$x$ の局所基底として $\left[x,x+\frac{1}{n}\right)$ をとればよい^[4]。

離散空間も第一可算。$\{x\}$ が開なので、${\mathcal{B}}_x=\{\{x\}\}$ の $1$ 個で済みます。

局所基底は入れ子にとれる

可算な局所基底があれば、だんだん小さくなるものにとりかえられます^[4]。

${\mathcal{B}}_x=\{B_1,B_2,\dots \}$ に対して $C_n=B_1\cap \cdots \cap B_n$ とおく。有限交叉なので開集合で、$C_1\supseteq C_2\supseteq \cdots$ となります。

入れ子にしておくと、点列を作るときに便利です。$C_n$ から点を $1$ つずつ拾えば、自動的に $x$ へ近づく。

点列で閉包が分かる

第一可算な空間では、$x\in \mathrm{cl}(A)$ であることと、$A$ の点列で $x$ に収束するものがあることが同値になります^[1,4]。

証明の向きは片方だけが問題になります。$x\in \mathrm{cl}(A)$ から点列を作るところ。

入れ子の局所基底 $C_1\supseteq C_2\supseteq \cdots$ をとり、各 $C_n$ から $A$ の点 $a_n$ を拾う。$x$ が閉包にいるので、どの $C_n$ も $A$ と交わります。

作った点列は $x$ に収束します。逆向きは第一可算でなくても成り立つ。

例：点列では足りない空間

$\mathbb{R}$ に補可算位相を入れます。補集合が可算な集合と空集合を開集合とする位相です^[4]。

この位相で収束する点列は、最終的に定数になるものだけ。定数でない値を無限個とる点列は、それらを除いた補可算開集合に引っかかります。

$A=\mathbb{R}\setminus \{7\}$ とすると、$7\in \mathrm{cl}(A)$ です。$7$ を含むどの開集合も補可算なので、$A$ の点をふくむ。

ところが $A$ の点列で $7$ に収束するものはありません。点列だけでは閉包を捉えきれない、という実例です。

この空間は第一可算ではない。同じことが、非可算集合の補有限位相でも起こります^[4]。

極限が 1 つならハウスドルフ

ハウスドルフ空間では収束先が $1$ 点に決まります。逆は一般には成り立たない。

補可算位相がその反例です。収束する点列の極限は $1$ つなのに、空でない開集合が必ず交わるのでハウスドルフになりません^[4]。

第一可算を足すと逆が通ります。第一可算で極限がいつも $1$ つなら、その空間はハウスドルフ^[4]。

証明は対偶で進みます。分離できない $2$ 点 $x,y$ があるとき、入れ子の局所基底から $B_n\cap C_n$ の点を拾えば、$x$ と $y$ の両方に収束する点列ができる。

第二可算公理

空間全体に可算な基底があるとき、その空間は第二可算だといいます^[2]。

局所基底が点ごとの条件だったのに対して、こちらは空間全体の条件です。$1$ つの可算族で、すべての開集合を和として書けることを要求する。

${\mathbb{R}}^n$ が典型例。中心が有理点、半径が有理数の開球を全部集めれば可算個で、これが基底になります^[2]。

半径と中心をどちらも有理数に絞っても、基底としての働きは落ちません。可算個で足りる。それがここでの主張になります。

第二可算から出るもの

第二可算な空間は、いくつかの性質を自動的に持ちます^[2,3]。

第一可算になるのは、可算基底のうち $x$ を含むものだけ集めれば局所基底になるためです。可分になるのは、各基本開集合から点を $1$ つずつ拾えば可算稠密集合ができるため。

リンデレフになるのは、開被覆から基本開集合を経由して可算部分被覆を作れるためです。

例：非可算離散空間

非可算集合 $X$ に離散位相を入れます。第一可算なのは先に見たとおり^[2]。

第二可算ではありません。基底はどれも、すべての $1$ 点集合をふくむ必要がある。$X$ が非可算なので、基底も非可算になります。

可分でもない。稠密部分集合は $X$ 自身しかないためです。

第一可算から第二可算へは戻れない、という反例になります。

例：ゾルゲンフライ直線

$\mathbb{R}$ に $[a,b)$ の形の区間を基底として入れた空間です^[3]。下限位相とも呼ばれます。

第一可算で、可分で、リンデレフ。それでも第二可算ではありません^[2]。

可算基底 $\mathcal{B}$ があったとすると、各 $x$ について $x\in B_x\subseteq [x,x+1)$ となる $B_x$ がとれる。$B_x$ の最小元は $x$ なので、$x\mapsto B_x$ は単射です。

$\mathbb{R}$ が非可算なので、$\mathcal{B}$ も非可算でなければならない。矛盾します。

遺伝と積

どちらの公理も部分空間へ遺伝します^[1,2]。基底や局所基底を交わりで制限すれば、可算性はそのまま残る。

可算個の積でも保たれます。座標ごとの可算基底から、有限個の座標だけを制限した箱を作れば可算個で足りる。

非可算個の積では壊れる。非可算個の座標に非自明な位相が乗ると、基本開集合の族が非可算になります。

可分性が第二可算ほど素直でないのは、この積の場面です。可分性は連続体濃度個までの積で保たれ、第二可算より粘り強い。

距離空間では 3 つが一致する

一般には別々だった $3$ つが、距離空間では同値になります^[2,3]。

可分な距離空間から可算基底を作る手順は短い。可算稠密集合 $D$ をとり、中心が $D$、半径が有理数の球を全部集めれば基底になります。

ゾルゲンフライ直線が可分なのに第二可算でないのは、距離化できない空間だからです。

ウリゾーンの距離化定理

第二可算で正則なハウスドルフ空間は距離化可能です^[2]。

第二可算がかなり強い条件だと分かります。分離公理を少し足すだけで、距離が入ってしまう。

逆は成り立ちません。非可算離散空間は距離化可能ですが、第二可算ではない。距離化可能で第二可算な空間は、可分な距離空間と同じものになります。

例：長い直線

順序数 ${\omega }_1$ を使って作る長い直線は、第一可算でありながら第二可算ではありません^[2]。

各点のまわりは $\mathbb{R}$ とそっくりで、局所的には可算な近傍列がとれる。ところが全体が長すぎて、可算基底が届きません。

局所の条件と大域の条件が、はっきり分かれる例になります。

よくある誤り

第一可算は点列を使えるようにする条件、第二可算は空間そのものを小さく抑える条件。どちらの話をしているかを分けておくと、反例の位置がすぐ見えます。

参考文献

^[1] が第一可算の定義と点列による特徴づけ、^[2] が第二可算からの含意・反例・距離化定理、^[3] がハウスドルフによる導入とゾルゲンフライ直線の位置づけ、^[4] が局所基底の扱いと補可算位相の詳しい反例です。