円周のまわりを何周したかが群になる……基本群を計算する

円周上のループは、何周したかだけで分類されます^[1]。$3$ 周と $-1$ 周のループを続けてたどれば $2$ 周。足し算そのものです。

$${\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$$

基本群が具体的に計算できる、最初の例になります。証明の道具は実数直線から円周への巻きつけ写像だけ^[4]。

ループとホモトピー

位相空間 $X$ と基点 $x_0$ をとります。$\gamma (0)=\gamma (1)=x_0$ となる連続写像 $\gamma :[0,1]\to X$ をループといいます^[1]。

$2$ つのループが道ホモトピックであるとは、端点を止めたまま連続に変形できることです。連続写像 $H:[0,1]\times [0,1]\to X$ で、両端が $x_0$ に固定されたものがあればよい。

ホモトピックであることは同値関係になります。その同値類が、基本群の要素です。

基本群

ループの積を、続けてたどる操作で定めます。前半で ${\gamma }_0$ を $2$ 倍の速さでたどり、後半で ${\gamma }_1$ をたどる^[1]。

この積はループそのものの上では結合律をみたしません。速さの配分が変わるためです。ホモトピー類の上でなら成り立つ。

単位元は定数ループ、逆元は逆向きにたどったループです。こうしてできる群を ${\pi }_1(X,x_0)$ と書きます。

弧状連結な空間なら、基点をどこにとっても同型になります^[2]。基点を結ぶ道で前後をはさめばよい。

例：円周のループ

円周の上でループをいくつか描きます。回った向きと回数だけが違う。

黒い点が基点です。$0$ 周のループは点に縮められ、それ以外は縮められません。回数が違えば別の類になる。

実数直線を巻きつける

円周を $S^1=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|=1\}$ と見て、次の写像を考えます^[1,4]。

$$p:\mathbb{R}\to S^1,p(t)=e^{2\pi it}$$

$p$ は被覆写像です。円周上のどの点にも小さい弧をとれば、その逆像が $\mathbb{R}$ 上の等間隔な開区間に分かれる。

各区間から弧への制限が同相になります。$\mathbb{R}$ を螺旋状に巻きつけた、と見るとつかみやすい。

$p^{-1}(1)=\mathbb{Z}$ です。この $\mathbb{Z}$ が、そのまま答えの群になります。

道の持ち上げ

被覆写像には持ち上げの性質があります^[4]。

円周上の道 $f$ と、出発点の逆像 ${\tilde{e}}_0$ を $1$ つ決めると、$p\circ \tilde{f}=f$ をみたす道 $\tilde{f}$ がただ $1$ つ定まります。

証明は、道を有限個に切って局所同相をつないでいく形です。区間のコンパクト性が効きます。

円周上を $1$ 周すると、持ち上げた点が $1$ だけ上がります。$3$ 周すれば $3$ 上がる。この上がり幅が巻き数です。

ホモトピーの持ち上げ

道だけでなく、ホモトピーも持ち上がります^[4]。

$2$ つの道がホモトピックで出発点が同じなら、持ち上げた道どうしもホモトピックになる。とくに終点が一致します。

ここが証明の要です。ホモトピックなループは同じ巻き数を持つ、と言えるようになる。

巻き数で写す

ループ $\gamma$ をとり、$\tilde{\gamma }(0)=0$ となるように持ち上げます。終点 $\tilde{\gamma }(1)$ は $p^{-1}(1)=\mathbb{Z}$ に入るので、整数です。

$$\mathrm{deg}([\gamma ])=\tilde{\gamma }(1)\in \mathbb{Z}$$

ホモトピーの持ち上げから、この値はホモトピー類だけで決まります。写像 $\mathrm{deg}:{\pi }_1(S^1,1)\to \mathbb{Z}$ が定まった。

準同型であることは、$2$ つのループの持ち上げをつなぐと見えます。後半の持ち上げを ${\tilde{\gamma }}_0(1)$ だけずらしてつなげばよい。

同型であること

全射は簡単です。${\omega }_n(s)=e^{2\pi ins}$ の持ち上げは ${\tilde{\omega }}_n(s)=ns$ で、終点が $n$ になります^[4]。

単射は、$\mathrm{deg}([\gamma ])=0$ なら $\gamma$ が定数ループにホモトピックだと示す形。持ち上げた $\tilde{\gamma }$ は $0$ から $0$ への $\mathbb{R}$ 内のループです。

$\mathbb{R}$ は凸なので、直線的なホモトピーで定数へ縮められます。それを $p$ で落とせば、$\gamma$ が定数ループへ縮む。

これで ${\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ が出ました。

例：円板では自明

$D^2$ は凸なので、どのループも直線的に基点へ縮められます^[1]。

${\pi }_1(D^2)$ は単位元だけの群。可縮な空間はどれもそうなります。

同じ円周でも、平面に埋めこんだ穴の縁として見るか、円板の中の曲線として見るかで結論が変わる。空間そのものが何かで決まります。

円板を縁へ縮められない

$D^2$ から $S^1$ への連続写像で、$S^1$ の上では動かさないもの。そういうレトラクションは存在しません^[1]。

あったとすると、包含 $S^1\hookrightarrow D^2$ とつないだ合成が恒等写像になります。基本群へ移すと、$\mathbb{Z}\to 1\to \mathbb{Z}$ の合成が恒等写像になってしまう。

自明群を経由して $\mathbb{Z}$ の恒等写像は作れません。矛盾です。

${\pi }_1$ が関手だという性質だけで、幾何的な主張が出ました。

ブラウワーの不動点定理

$2$ 次元のブラウワーの不動点定理が、ここから出ます^[1,3]。

$f:D^2\to D^2$ が連続で不動点を持たないとする。$x$ から $f(x)$ へ向かう半直線が縁と交わる点を $r(x)$ とすれば、$r$ は連続です。

$x$ が縁の上なら $r(x)=x$ になるので、$r$ はレトラクション。存在しないと示したばかりのものです。

不動点がないという仮定が破れました。

代数学の基本定理

複素係数の多項式が根を持つことも、巻き数で示せます^[3]。

$p(z)=z^n+a_{n-1}{z}^{n-1}+\cdots +a_0$ が根を持たないとします。半径 $R$ の円周の像を見ると、$R$ が大きいとき $z^n$ が支配して巻き数が $n$ になる。

$R$ を $0$ まで縮めると、像は定数 $a_0$ に近づき巻き数は $0$ です。連続に動かしているのに、整数値が $n$ から $0$ へ飛ぶ。

根がないという仮定が崩れます。$n\ge 1$ なら根が存在する。

ほかの空間の基本群

トーラスの ${\mathbb{Z}}^2$ は、積空間の基本群が積になることから出ます。$8$ の字が非可換になるのは、$2$ つの輪を回る順番が効くためです^[2]。

歴史

ポアンカレが $1895$ 年の論文「位置解析」で導入しました^[3]。空間の形を群に翻訳する、という発想の出発点です。

${\pi }_1(S^1)\cong \mathbb{Z}$ は、その翻訳が具体的な答えを返した最初の例になります。以後の代数的位相幾何が、この計算を土台に組み上がっていく。

よくある誤り

回った回数を数える。それだけの操作が群の同型になり、不動点定理や代数学の基本定理まで届きます。

参考文献

^[1] が基本群の定義と円周の計算および応用、^[2] が基点のとりかえと各空間の具体例、^[3] がポアンカレによる導入と応用の整理、^[4] が持ち上げの補題と同型の証明の詳細です。