ゾルゲンフライ直線ってなに？半開区間で作る反例だらけの位相

$\mathbb{R}$ の基底を、開区間 $(a,b)$ から半開区間 $[a,b)$ にとりかえます。それだけで、性質のほとんどが入れかわる^[1]。

できあがった空間をゾルゲンフライ直線といいます。位相空間論の反例が、この $1$ 本からいくつも出てきます^[2]。

定義

$\mathcal{B}=\{[a,b)\mid a<b\}$ を基底として、$\mathbb{R}$ に位相を入れます^[4]。この位相を下限位相と呼ぶ。

$\mathcal{B}$ が基底の条件をみたすことは、交わりの計算で確かめられます。$[a,b)\cap [c,d)$ はまた半開区間か空集合になる。

できた空間を ${\mathbb{R}}_{\ell }$ と書き、ゾルゲンフライ直線といいます。矢印直線と呼ぶこともある。

通常の位相より真に細かい

開区間 $(a,b)$ は、半開区間の和として書けます^[1]。

$$(a,b)=\bigcup _n\left[a+\frac{1}{n},b\right)$$

だから通常の開集合はすべて下限位相でも開。逆は成り立ちません。$[0,1)$ は下限位相で開ですが、通常の位相では開でない。

下限位相のほうが真に細かい、と言えます。開集合が増えたぶん、収束する点列が減る。

半開区間は開かつ閉

$[a,b)$ の補集合は $(-\infty ,a)\cup [b,\infty )$ です。どちらも半開区間の和なので開^[1]。

したがって $[a,b)$ は閉集合でもあります。開かつ閉、つまり開閉集合になる。

同じ理由で $\{x\mid x<a\}$ と $\{x\mid x\ge a\}$ も開閉集合です。空間を $2$ つに割る開閉集合が、どこにでもとれる。

完全不連結

開閉集合がこれだけあると、連結成分が $1$ 点ずつになります^[1,3]。

異なる $2$ 点 $x<y$ をとれば、$(-\infty ,y)$ と $[y,\infty )$ が両方を分ける。連結な部分集合は $1$ 点集合だけです。

通常の $\mathbb{R}$ が連結だったことを思うと、大きな違いになります。中間値の定理のような議論は、ここでは通りません。

被覆次元も $0$ になる。開閉集合の基底を持つ空間は、零次元と呼ばれます^[3]。

収束は右からだけ

点列 $x_n$ が $L$ に収束するのは、右から近づくときにかぎります^[1]。

$L$ の近傍は $[L,L+\epsilon )$ の形をふくむので、$x_n\ge L$ でなければ入れません。左から近づく列は収束しない。

$-\frac{1}{n}$ は $0$ に収束しません。$\frac{1}{n}$ は収束します。解析の右側極限が、そのまま位相の収束になっている。

可分だが第二可算でない

有理数はゾルゲンフライ直線でも稠密です。どの $[a,b)$ にも有理数が入るので、可分になります^[1,2]。

第二可算ではありません。可算基底 $\mathcal{B}$ があったとすると、各 $x$ について $x\in B_x\subseteq [x,x+1)$ となる $B_x$ がとれる。

$B_x$ の最小元は $x$ になります。$x\mapsto B_x$ が単射なので、$\mathcal{B}$ は非可算でなければならない。矛盾です。

第一可算ではあります。$\left[x,x+\frac{1}{n}\right)$ が可算な局所基底になる^[4]。

距離化できない

可分な距離空間は第二可算になります。ゾルゲンフライ直線は可分で第二可算でないので、距離化できません^[1,3]。

正則でハウスドルフ、しかもパラコンパクトなのに距離が入らない。距離化の条件から第二可算を外せない、という実例です。

擬距離でなら生成できます。$d(x,y)=y-x$（$y\ge x$）、それ以外は $1$ とすると、下限位相が出る^[1]。対称性を捨てれば距離らしきもので書ける。

コンパクト部分集合は可算

ゾルゲンフライ直線のコンパクト部分集合は、たかだか可算になります^[1,3]。

$K$ をコンパクトとし、各 $x\in K$ に $[x,x+{\epsilon }_x)$ をとる。有限部分被覆から、$K$ の各点が有限個の半開区間に収まります。

区間の左端でない点は、右から可算個の点でしか近づけない。結果として $K$ は可算集合になります。

$[0,1]$ すらコンパクトではありません。$\{0\}\cup \left\{\left[x,x+\epsilon \right)\right\}$ の形の被覆で、有限部分被覆がとれない。

局所コンパクトでもなく、$\sigma$-コンパクトでもない^[3]。ハイネ・ボレルの感覚は完全に外れます。

リンデレフでパラコンパクト

コンパクトではないのに、リンデレフではあります^[1]。どの開被覆にも可算部分被覆がとれる。

パラコンパクトでもあり、完全正規なハウスドルフ空間になります。分離公理の面では、むしろ通常の $\mathbb{R}$ より強い。

第二可算とリンデレフが同値でないことの、標準的な反例になっています。距離空間なら同値だった $2$ つが、ここでは分かれる。

ゾルゲンフライ平面

${\mathbb{R}}_{\ell }\times {\mathbb{R}}_{\ell }$ を考えます。ゾルゲンフライ平面と呼ばれる空間です^[1,2]。

積は可分です。有理点の全体が稠密になる。ところが正規ではありません。

反対角線 $\{(x,-x)\}$ が閉集合で、しかも部分空間として離散になります。非可算な離散閉集合が入っている。

反対角線の中の有理点の集合と無理点の集合は、どちらも閉集合で交わりません。それでも開集合では分離できない^[2]。

濃度を数えると分かります。可分な空間で、$2$ つの閉集合を分ける方法はたかだか $2^{{\aleph }_0}$ 通り。ところが反対角線の分け方は $2^{2^{{\aleph }_0}}$ 通りあります。

数が合わないので、分離できない組が必ず残る。正規性が積で保たれない、という結論になります。

何のための例か

ゾルゲンフライが $1947$ 年にこの空間を出したのは、パラコンパクト性が積で保たれないことを示すためでした^[3]。

もっともらしく見える命題を、$1$ つの空間でまとめて落とせる。位相空間論の教科書で何度も呼び出される理由がここにあります。

足りないものが $1$ つだけだから、どこが効いているのかがはっきり見えます。反例としての切れ味は、この一点集中から来ています。

よくある誤り

半開区間にとりかえる。たったそれだけで、$\mathbb{R}$ で身についた感覚がほとんど通じなくなります。反例を探すときに最初に思い出す空間です。

参考文献

^[1] が定義と各性質の証明、^[2] がゾルゲンフライ平面と正規性の破れ、^[3] が導入の経緯とパラコンパクト性まわりの整理、^[4] が基底としての扱いと第一可算性です。