部分空間では開集合の意味が変わる（相対位相と部分空間位相）

$[0,1]$ は $\mathbb{R}$ の開集合ではありません。ところが $[0,1]$ を空間そのものと見れば、$[0,1]$ 自身は開集合になります。

開いているかどうかは集合だけでは決まらない。どの空間の中に置いて見ているかで変わります。この二つを行き来する道具が相対位相です。

相対位相の定義

位相空間 $(X,\mathcal{T})$ と部分集合 $Y\subseteq X$ をとります。$Y$ の開集合を、$X$ の開集合との交わりだけで決める^[1]。

$${\mathcal{T}}_Y=\{U\cap Y\mid U\in \mathcal{T}\}$$

これが位相の公理をみたすことは、交わりの計算だけで終わります。$\varnothing \cap Y=\varnothing$、$X\cap Y=Y$、和も有限交叉も交わりの外へ出せる。

${\mathcal{T}}_Y$ を相対位相、または部分空間位相と呼びます。$(Y,{\mathcal{T}}_Y)$ が $X$ の部分空間です。

上段が $\mathbb{R}$ の開区間、中段が部分空間 $Y=[0,1]$、下段が交わりです。$U$ をずらすと $Y$ の開集合が次々に現れる。

例：閉区間の中では端が開く

$Y=[0,1]$ とし、$U=(-1,\frac{1}{2})$ をとります。$U$ は $\mathbb{R}$ の開集合。

$$U\cap Y=\left[0,\frac{1}{2}\right)$$

左端の $0$ が入ったまま、$Y$ の開集合になりました。$\mathbb{R}$ の中でこの集合は開ではありません。$0$ の左側にすきまがないためです。

$Y$ の中では $0$ の左に点がない。だから $0$ のまわりは、$Y$ に関するかぎり全部そろっている。

$U=\mathbb{R}$ とすれば $U\cap Y=Y$ なので、$Y$ 自身も $Y$ の開集合です。同時に補集合が空なので閉集合でもある。

開くかどうかは外側で決まる

同じ集合が、置かれる空間によって開いたり開かなかったりする。ここが相対位相のいちばんの勘所です。

「$Y$ で開」を、$X$ で開と区別して相対開ということもあります。言葉を分けておくと混乱が減る。

開部分空間なら食い違いが消える

食い違いが起きるのは、$Y$ が $X$ で開でないときに限られます^[1,2]。

$Y$ が $X$ の開集合なら、$U\cap Y$ は開集合どうしの交わりなので $X$ でも開。逆に $X$ で開いていて $Y$ に入るなら、$Y$ でも開になります。

同じことが閉集合でも成り立つ。$Y$ が $X$ で閉なら、$Y$ の閉集合はそのまま $X$ の閉集合です。

$(0,1)$ を $\mathbb{R}$ の部分空間として見るときに相対位相をあまり意識しないのは、この事情によります。

例：整数は離散になる

$\mathbb{Z}$ を $\mathbb{R}$ の部分空間とします。各 $n$ のまわりに幅 $1$ の開区間をとる。

$$\left(n-\frac{1}{2},n+\frac{1}{2}\right)\cap \mathbb{Z}=\{n\}$$

$1$ 点集合が開くので、$\mathbb{Z}$ のどんな部分集合も開になります。相対位相は離散位相です^[2]。

$\mathbb{N}$ でも事情は同じ。$\left\{\frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\right\}$ も、どの点にも隣がないので離散になります。

例：$0$ を足すと離散でなくなる

$Y=\left\{\frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\right\}\cup \{0\}$ にすると、様子が変わります。

$0$ を含む $\mathbb{R}$ の開集合は、$\frac{1}{n}$ の形の点を必ず無限個ふくむ。だから $\{0\}$ は $Y$ で開になりません^[4]。

$0$ 以外の点はどれも孤立しているので、$1$ 点集合が開きます。$1$ 点だけが例外という空間です。

例：有理数は離散にならない

$\mathbb{Q}$ を $\mathbb{R}$ の部分空間とします。基底は開区間との交わりで作れる。

$${\mathcal{B}}_{\mathbb{Q}}=\{(a,b)\cap \mathbb{Q}\mid a<b\}$$

どの有理数のまわりにも別の有理数が無限にあるので、$1$ 点集合は開きません。離散にはならない。

一方で、両端が無理数の区間は $\mathbb{Q}$ で開かつ閉になります。$(-\sqrt{2},\sqrt{2})\cap \mathbb{Q}$ がそう。境界にあたる点が $\mathbb{Q}$ に落ちていないためです。

例：単位円の開弧

$S^1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2\mid x^2+y^2=1\}$ を平面の部分空間とします。

平面の開円板と円周の交わりは、円周上の開弧になる。この開弧の全体が $S^1$ の基底です^[4]。

弧の両端は入りません。円板の縁と円周が出会う点は、円板が開いているぶん落ちる。

基底も交わりで移る

$X$ の基底 $\mathcal{B}$ があれば、$Y$ の基底はそれを制限して作れます^[4]。

$${\mathcal{B}}_Y=\{B\cap Y\mid B\in \mathcal{B}\}$$

証明は $2$ 行で済む。$U\cap Y$ の点 $y$ に対して $y\in B\subseteq U$ なる $B$ をとれば、$y\in B\cap Y\subseteq U\cap Y$ になります。

位相そのものを列挙しなくても、基底さえ分かれば部分空間の位相が決まる。実際に使うのはこの形です。

閉包は交わりで移る

閉集合も交わりで移ります。$Y$ の閉集合は、$X$ の閉集合と $Y$ の交わり。

閉包には少し注意が要る。$B\subseteq A\subseteq X$ のとき、$A$ の中で計算した閉包は次になります^[4]。

$${\mathrm{cl}}_A(B)=A\cap {\mathrm{cl}}_X(B)$$

$\mathbb{Q}$ の中で $\mathbb{Q}\cap (0,1)$ の閉包をとれば $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ です。$\mathbb{R}$ で閉包をとった $[0,1]$ とは違う集合になる。

内部は同じようにいきません。${\mathrm{int}}_A(B)$ と $A\cap {\mathrm{int}}_X(B)$ は一致しないことがある。$A=B=\mathbb{Q}$ で確かめられます。

部分空間の部分空間

$A\subseteq Y\subseteq X$ とします。$A$ に位相を入れる道が $2$ つある。$Y$ から入れるか、$X$ から直に入れるか。

答えは同じです^[3]。$A\subseteq Y$ なので $W\cap Y\cap A=W\cap A$ となり、両者が一致する。

包含写像で言いかえる

包含写像 $i:Y\to X$、$i(y)=y$ は連続です。$i^{-1}(U)=U\cap Y$ が定義そのものなので。

相対位相は、包含写像を連続にする位相のうちいちばん粗いもの^[2]。これを定義に採用することもできます。

さらに強い言いかえがある。どんな空間 $Z$ と写像 $f:Z\to Y$ についても、$f$ が連続であることと $i\circ f$ が連続であることが同値になります^[1]。

どれも交わりの計算だけで証明が終わります。定義が交わりだけでできているためです。

貼り合わせの補題

$X=A\cup B$ で、$A$ と $B$ がともに閉、またはともに開だとします^[4]。

$f:A\to Y$ と $g:B\to Y$ が連続で、$A\cap B$ の上で値が一致するなら、つなげた写像も連続になる。

$$h(x)=f(x)(x\in A),h(x)=g(x)(x\in B)$$

「ともに閉、またはともに開」を落とすと壊れます。$X=\left\{\frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\right\}\cup \{0\}$ で試す。

$A=\left\{\frac{1}{n}\mid n\in \mathbb{N}\right\}$ は $X$ で開、$B=\{0\}$ は閉で開ではありません。どちらも離散なので、$f(x)=x$ と $g(0)=-7$ はともに連続。

つなげた $h$ は $h\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n}$ が $0$ に近づくのに $h(0)=-7$ なので、$0$ で連続になりません。開と閉が混ざった分割では補題が効かない、という反例です。

遺伝する性質と遺伝しない性質

どの部分空間へも移る性質を遺伝的といいます^[1]。移らない性質もある。

ハウスドルフの証明は短い。$x,y\in Y$ を分ける開集合 $U,V$ が $X$ にあるなら、$U\cap Y$ と $V\cap Y$ が $Y$ で分けます。

可分性が遺伝しないことは、特定点位相で見えます。$\mathbb{R}$ に、$7$ を含む集合と空集合だけを開とする位相を入れる^[4]。

$\{7\}$ の閉包が全体なので可分です。ところが部分空間 $\mathbb{R}\setminus \{7\}$ は離散で非可算なので、可分になりません。

例：コンパクト性がどちらに転ぶか

$[0,1]$ は $\mathbb{R}$ の閉部分空間で、コンパクト。$(0,1)$ は開部分空間で、コンパクトになりません。

コンパクト性は部分空間へ自由には移らない。閉じているという条件が要ります。

逆向きは条件なしで通ります。ハウスドルフ空間のコンパクト部分空間は、必ず閉集合になる。

よくある誤り

開いているかを聞かれたら、まずどの空間の中での話かを確かめる。相対位相の誤りは、ほとんどがここから出ます。

参考文献

^[1] が定義と普遍性と遺伝性、^[2] が包含写像による特徴づけと整数の例、^[3] が推移性、^[4] が基底・閉包・貼り合わせの補題とその証明です。