「閉集合が尽きない」と言いかえる有限交叉性とコンパクト性

コンパクト性の定義は、開被覆から有限部分被覆をとる形で書かれます。これを補集合に置きかえると、閉集合だけの言葉になる^[1]。

有限個をとるかぎり交わりが空にならない閉集合の族は、全部集めても交わりが空にならない。これがコンパクト性の言いかえです。

有限交叉性

集合の族 $\mathcal{A}$ が有限交叉性を持つとは、有限個をどう選んでも交わりが空でないことです^[1,4]。

$$A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n\ne \varnothing$$

全体の交わりが空でないことは要求しません。そこが要点です。

$\mathbb{N}$ の部分集合 $A_n=\{n,n+1,n+2,\dots \}$ を考えます。有限個の交わりはいちばん大きい $n$ のぶんが残るので空でない。ところが全部の交わりは空です^[4]。

2 つずつでは足りない

有限交叉性は、$2$ つずつの交わりだけでは決まりません^[1]。

$\{1,2\}$、$\{2,3\}$、$\{1,3\}$ の $3$ つをとる。どの $2$ つも交わるのに、$3$ つ全部の交わりは空です。

「有限個をどう選んでも」の「どう選んでも」が効いている。$3$ 個以上の組も全部見る必要があります。

コンパクト性の言いかえ

位相空間 $X$ について、次の $2$ つが同値です^[1,4]。

証明は補集合をとるだけで済みます。$\mathcal{A}$ を閉集合の族とし、$\mathcal{U}=\{X\setminus C\mid C\in \mathcal{A}\}$ とおく。

$\mathcal{A}$ の全交わりが空であることと、$\mathcal{U}$ が $X$ を覆うことは、ド・モルガンの法則で言いかえられます。

$\mathcal{A}$ の有限交わりが空でないことと、$\mathcal{U}$ の有限部分族が $X$ を覆わないことも同じ関係です。

つまり「有限部分被覆がない開被覆」と「有限交叉性を持つが全交わりが空な閉集合族」は、たがいの補集合になっています。片方がなければ、もう片方もない。

例：カントールの区間縮小法

コンパクト空間で、空でない閉集合の減少列 $A_0\supseteq A_1\supseteq A_2\supseteq \cdots$ をとります^[1,3]。

有限個を選べば、いちばん番号の大きいものがそのまま交わりになる。空でないので、有限交叉性を持ちます。

したがって全体の交わりも空ではありません。区間縮小法の定理が、この形で出ます。

$[a_n,b_n]$ が縮んでいく閉区間の列なら、共通点が必ず残る。実数の完備性から示す証明が普通ですが、コンパクト性からも同じ結論になります。

上段の閉区間はどれだけ縮んでも端点を持ったままで、まん中の点が残ります。下段の開区間は左端が入っていないので、縮みきると行き先がない。

開いていると崩れる

同じ議論を開集合でやると失敗します。$\left(0,\frac{1}{n}\right)$ は減少列で、どの有限個の交わりも空でない。

それでも全部の交わりは空です。$0$ が入っていないので、どの点も残らない。

閉であることが効いている、と分かります。定理が閉集合について述べられているのは、この事情によります。

コンパクトでないと崩れる

$\mathbb{R}$ で $A_n=[n,\infty )$ をとります。どれも閉集合で、減少列。

有限個の交わりはいちばん大きい $n$ のぶんが残るので、空になりません。ところが全部の交わりは空です。

$\mathbb{R}$ がコンパクトでないためです。有限交叉性を持つ閉集合族で、全交わりが空になるものが作れてしまう。

例：フレシェフィルター

無限集合 $X$ の補有限部分集合を全部集めたものを、フレシェフィルターといいます^[1]。

有限個の交わりは、有限個を除いた残りなので空になりません。有限交叉性を持ちます。

ところが全体の交わりは空です。どの点 $x$ も、$X\setminus \{x\}$ に入っていないので落ちます。

コンパクトでない空間の上で、有限交叉性が全体へ届かない典型例になります。

フィルターへ広げる

有限交叉性を持つ族は、フィルターの土台になります^[4]。

有限交わりを全部足し、それを含む集合も足すと、フィルターができる。空集合が入らないのは、有限交叉性のおかげです。

さらにツォルンの補題を使えば、極大なフィルターに広げられます。これを超フィルターと呼ぶ。

超フィルターを使うと、コンパクト性がもう $1$ 度言いかえられます。どの超フィルターも収束するとき、そしてそのときにかぎりコンパクト^[4]。

チホノフの定理への道

超フィルターによる特徴づけは、チホノフの定理の証明で効きます^[4]。

積空間の超フィルターを各座標へ落とすと、そこでも超フィルターになる。成分がコンパクトなら、それぞれ収束先を持ちます。

座標ごとの収束先を集めた点へ、もとの超フィルターが収束する。積がコンパクトだと言えました。

被覆を直接あつかう証明より、はるかに短い。有限交叉性から始まる道具立てが、ここで報われます。

例：完全なコンパクトハウスドルフ空間は非可算

孤立点を持たない空でないコンパクトハウスドルフ空間は、非可算になります^[1]。

可算だとして $x_1,x_2,\dots$ と並べます。空でない開集合を、閉包が入れ子で、$n$ 番目が $x_n$ を避けるようにとっていく。

閉包の族は有限交叉性を持つので、交わりに点が残ります。その点はどの $x_n$ とも違う。

並べ切れていなかったことになり、矛盾です。区間縮小法の議論を、点の除外に使った形になります。

可算個だけに絞ると

有限交叉性を可算な族にかぎると、弱い条件が出てきます^[4]。

可算な開被覆に有限部分被覆があるとき、その空間を可算コンパクトといいます。閉集合の言葉では、可算個の減少列について交わりが空でないこと。

可算コンパクトは、無限部分集合が集積点を持つことと同値になります^[4]。ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理が言っていた性質です。

点列コンパクトな空間は可算コンパクトになります。逆は成り立たない。順序数 ${\omega }_1$ に順序位相を入れた空間は、点列コンパクトなのにコンパクトではありません^[4]。

強い有限交叉性

有限個の交わりが、空でないどころか無限集合になるとき、強い有限交叉性といいます^[1]。

包含で全順序になる無限集合の族は、これを持ちます。減少列の交わりは、途中で有限にならないためです。

超フィルターの構成や、独立族の議論で使われます。有限交叉性を一段強めた条件になる。

よくある誤り

コンパクト性を開被覆で考えるか、閉集合の交わりで考えるか。証明の見通しは、その選び方でずいぶん変わります。

参考文献

^[1] が有限交叉性の定義・同値な特徴づけ・応用例、^[2] が閉集合による定式化と区間縮小法、^[3] がコンパクト性の同値条件の整理、^[4] がフィルターと超フィルターによる証明の詳細です。