距離が決まると開集合が決まる、距離空間から位相へ

${\mathbb{R}}^2$ に距離を入れる方法は $1$ つではありません。まっすぐな直線距離、碁盤の目を進む距離、縦横の大きいほうをとる距離。単位球の形は円、ひし形、正方形とばらばらになります。

ところが、この $3$ つが決める開集合はまったく同じです^[3]。距離の情報のうち、位相に残るのはごく一部でしかない。

距離の 3 条件

集合 $X$ の上の距離とは、$d:X\times X\to [0,\infty )$ で次をみたすものです^[1,4]。

$3$ 番目が三角不等式。遠まわりしても近道より短くはならない、という条件です。

この $3$ つだけで、開集合も収束も連続性も定義できる。集合と関数だけからは出てこない構造が、ここで入ります。

開球

$x\in X$ と $\epsilon >0$ に対して、開球を次で定めます^[4]。

$$B(x,\epsilon )=\{y\in X\mid d(x,y)<\epsilon \}$$

不等号を $\le$ にしたものが閉球。開球は開集合、閉球は閉集合になります。

球という名前ですが、形は距離によって変わる。${\mathbb{R}}^2$ で $3$ つ並べてみます。

ひし形、円、正方形。見た目はまるで違うのに、あとで見るように同じ位相を決めます。

開集合の定義

部分集合 $U\subseteq X$ が開集合であるとは、どの点にも余裕があることです^[3]。

$$\forall u\in U,\exists \epsilon >0,B(u,\epsilon )\subseteq U$$

どの点も、少しくらい動いても $U$ から出ない。境界に近い点ほど、とれる $\epsilon$ は小さくなります。

$\epsilon$ が $0$ に近づいても、正の値でありさえすれば条件はみたされます。縁そのものの点だけが、余裕をとれない。

開集合の 3 つの性質

こうして決めた開集合の族は、$3$ つの性質を持ちます^[3]。

$2$ 番目で有限と断るのは、無限個では崩れるためです。$(-\infty ,\frac{1}{n})$ はどれも開ですが、すべての交わりは $(-\infty ,0]$ になる。

$0$ には余裕がありません。右へ少しでも動くと外へ出ます。

この $3$ つを抜き出して公理にしたものが位相です。距離を捨てて、開集合の族だけを残した構造になります。

距離が誘導する位相

距離 $d$ から決まる開集合の族を ${\mathcal{T}}_d$ と書き、$d$ が誘導する位相と呼びます^[4]。

開球の全体は ${\mathcal{T}}_d$ の基底です。どの開集合も開球の和として書ける。

この作り方をフレシェが学位論文でまとめたのは $1906$ 年^[4]。位相空間の公理より先に、距離のほうが定式化されました。

ここから先が本題になります。距離から位相への対応は、単射でも全射でもありません^[3]。

例：3 つの距離が同じ位相を決める

冒頭の $3$ つに戻ります。${\mathbb{R}}^n$ で次の不等式が成り立ちます^[3]。

$$d_{\infty }(x,y)\le d_1(x,y)\le n{d}_{\infty }(x,y),d_{\infty }(x,y)\le d_2(x,y)\le n{d}_{\infty }(x,y)$$

定数倍ではさめる関係をリプシッツ同値といいます。リプシッツ同値なら位相同値です^[3]。

証明は球の入れ子で終わります。$cd\le d^{\prime }$ なら $B_{d^{\prime }}(a,cr)\subseteq B_d(a,r)$ なので、片方で開なら他方でも開になる。

同じ点のまわりで、$3$ つの球が入れ子になります。だからどれか $1$ つで余裕がとれれば、残りでもとれる。

例：離散距離

$X$ を任意の集合とし、異なる $2$ 点の距離をすべて $1$ とします^[1,2]。

$$B\left(x,\frac{1}{2}\right)=\{x\}$$

$1$ 点集合が開くので、どの部分集合も開集合。誘導される位相は離散位相です。

有限集合にも無限集合にも入れられます。どんな集合も、少なくとも $1$ つの距離を持つ。

例：整数では 2 つの距離が同じ位相を決める

$\mathbb{Z}$ に $\mathbb{R}$ の距離 $|m-n|$ を入れると、$B\left(n,\frac{1}{2}\right)=\{n\}$ になります。離散位相です。

離散距離も同じ位相を与えます。位相同値な $2$ つの距離ということになる。

ところがリプシッツ同値ではありません^[3]。$|m-n|$ はいくらでも大きくなるのに、離散距離は $1$ で止まる。定数ではさめない。

リプシッツ同値のほうが真に強い条件だと分かります。逆は成り立たない。

例：関数空間では位相が変わる

$C[0,1]$ を $[0,1]$ 上の連続関数の集合とします。$3$ つの距離が定義できる^[3]。

$$d_1(f,g)={\int }_0^1|f-g|dt,d_{\infty }(f,g)=\underset{0\le t\le 1}{\sup }|f(t)-g(t)|$$

有限次元のときと違い、この $2$ つは位相同値になりません^[3]。細く高い山を持つ関数は、$d_1$ では原点に近いのに $d_{\infty }$ では遠い。

次元が上がると、距離の選び方がそのまま位相の選び方になる。関数解析でノルムのとりかえが問題になるのは、この事情によります。

距離では決まるが位相では決まらないもの

有界性、完備性、一様連続性は距離の性質で、位相の性質ではありません^[1]。

$\mathbb{R}$ と $(0,1)$ が実例です。$\tan$ を使えば同相になるのに、$\mathbb{R}$ は完備で非有界、$(0,1)$ は有界で完備でない。

同じ位相空間を、有界な距離と非有界な距離の両方で表せる、ということでもあります。$\min (d,1)$ にとりかえれば、位相を変えずに有界化できる。

連続性は開集合だけで決まる

距離空間のあいだの写像 $f:X\to Y$ について、次が同値です^[3]。

定義には距離が出てくるのに、判定には開集合しか要りません。ここが位相空間へ進む足がかりになります。

$\epsilon$ と $\delta$ を捨てても連続性は残る。捨てられないのは一様連続性のほうです。

距離化できない位相

すべての位相が距離から作れるわけではありません^[3]。距離から作れる位相を距離化可能といいます。

$X=\{1,2\}$ に密着位相 $\{\varnothing ,X\}$ を入れます。もし距離 $d$ があれば、$B\left(1,\frac{d(1,2)}{2}\right)=\{1\}$ が開になる。

密着位相で $\{1\}$ は開ではないので、そんな距離はありません。$2$ 点以上の密着空間は距離化できない。

一般に、距離空間は必ずハウスドルフです^[3]。$r=\frac{d(x,y)}{2}$ とすれば $B(x,r)$ と $B(y,r)$ が交わらない。三角不等式がそれを保証します。

例：フランス国鉄距離

ノルム空間の上で、$x\ne y$ のとき $d(x,y)=\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$ と定めます^[1,2]。

パリを通らないと移動できない鉄道網に見立てた距離です。原点を通る直線上にない $2$ 点は、いつも原点経由で測る。

原点以外の点 $x$ について、半径 $\Vert x\Vert$ 未満の球は $\{x\}$ だけになります。原点だけが特別で、他は孤立点。

距離の $3$ 条件はみたしています。ユークリッド距離とはまったく別の位相を与える例です。

よくある誤り

距離を入れると位相が決まる。逆はたどれず、決まった位相からもとの距離は復元できません。どこまでが距離の話で、どこからが位相の話かを分けておくと、後の議論が楽になります。

参考文献

^[1] が距離の公理と、位相では決まらない性質の整理、^[2] が離散距離とフランス国鉄距離、^[3] が開集合の作り方とリプシッツ同値・距離化可能性の証明、^[4] が開球の定義とフレシェによる導入の経緯です。