点はどこにいるのか？内部と境界と外部で位相空間を仕分ける

位相空間 $X$ の部分集合 $A$ をとると、$X$ の点はちょうど $3$ つに分かれます。$A$ の内部、$A$ の境界、$A$ の外部。どの点も、この $3$ つのうち $1$ つだけに属します^[2]。

分け方の基準は近傍です。近傍が $A$ に収まるか、$A$ の外に収まるか、どちらでもないか。それだけで決まる。

3 つの定義

$x$ の近傍が $A$ に含まれるとき、$x$ を $A$ の内部点といいます^[1]。内部点の全体が内部で、$\mathrm{int}(A)$ と書く。

$x$ の近傍が $A$ の補集合に含まれるとき、$x$ は外部点です。外部点の全体が外部で、$\mathrm{ext}(A)$ と書きます。

どちらでもない点が境界点。$x$ のどの近傍も、$A$ の点と $A$ に属さない点を両方ふくむ^[2,3]。境界点の全体を $\partial A$ と書きます。

近傍を小さくしても境界点の判定は変わりません。どれだけ縮めても、内と外の両方に会う。ここが境界点の粘り強さです。

内部は最大の開集合

内部には、点を数えない定義もあります。$A$ に含まれる開集合を全部集めて、その和をとる^[1]。位相を $\mathcal{T}$ と書きます。

$$\mathrm{int}(A)=\bigcup \{U\in \mathcal{T}\mid U\subseteq A\}$$

開集合の和は開集合なので、$\mathrm{int}(A)$ は開。しかも $A$ に含まれる開集合はすべてこの和に入るので、$A$ に含まれる最大の開集合になります^[5]。

ここから $A$ が開集合であることと $\mathrm{int}(A)=A$ が同値だと分かる。内部は「$A$ を開集合まで削ったもの」です。

外部は補集合の内部

外部は、補集合について同じことをしたものです。

$$\mathrm{ext}(A)=\mathrm{int}(X\setminus A)=X\setminus \mathrm{cl}(A)$$

$A$ から離れていられる点の全体、と読めます^[1]。閉包の補集合と一致する。

内部と外部は、どちらも開集合です。境界だけが閉集合になる。

境界は閉包から内部を引く

境界の定義は $2$ 通りの書き方があり、どちらも同じものを指します^[2,4]。

$$\partial A=\mathrm{cl}(A)\setminus \mathrm{int}(A)=\mathrm{cl}(A)\cap \mathrm{cl}(X\setminus A)$$

右の形から、$\partial A$ が閉集合どうしの交わりだと分かる。境界はいつでも閉集合です。

同じ形から $\partial A=\partial (X\setminus A)$ も出ます。集合とその補集合は、同じ境界を持つ^[3]。

$3$ つは交わらず、合わせて $X$ になります。この分割が、以下の計算の土台です。

内部と閉包は補集合で入れかわる

内部と閉包は独立した概念ではありません。補集合をはさむと、互いに移り合う^[5]。

$$\mathrm{cl}(X\setminus A)=X\setminus \mathrm{int}(A),\mathrm{int}(X\setminus A)=X\setminus \mathrm{cl}(A)$$

証明は $1$ 行です。$\mathrm{int}(A)$ が「$A$ に入る開集合の和」なので、その補集合は「$X\setminus A$ を含む閉集合の交わり」になる。

閉包について証明したことは、この式を通してそのまま内部の話になります。片方を覚えれば足りる。

例：区間の内部と境界

$\mathbb{R}$ の中で $[0,1]$ を見ます。内部は $(0,1)$、閉包は $[0,1]$、境界は $2$ 点だけ。

$$\partial [0,1]=\{0,1\}$$

端を入れても入れなくても境界は変わりません^[4]。$(0,1)$、$[0,1)$、$(0,1]$、$[0,1]$ の境界はすべて $\{0,1\}$ になる。

$\mathbb{R}$ の中で $(0,5)$ の境界が $\{0,5\}$ になるのも同じ理屈です^[4]。開いていても端は境界に残る。

例：有理数はすべてが境界

$\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ では、様子がまったく変わります。

どの開区間にも有理数と無理数の両方があるので、$\mathbb{Q}$ に含まれる開集合は空集合だけ。内部は空です^[1]。

補集合の無理数全体も同じ事情なので、外部も空。残る全部が境界になり、$\partial \mathbb{Q}=\mathbb{R}$ です^[3,4]。

$\mathbb{R}$ という空間まるごとが、たった $1$ つの集合の境界になる。境界が「薄い膜」だという直観は、${\mathbb{R}}^n$ の図形でしか通じません。

例：1 点集合と有限集合

${\mathbb{R}}^n$ で $1$ 点集合 $\{p\}$ をとります。どんな球も $p$ 以外の点をふくむので、内部は空^[1]。

$\{p\}$ は閉集合なので閉包は自身。境界は $\{p\}$ そのものです。

有限集合でも同じ。${\mathbb{R}}^n$ の有限集合は内部が空で、境界が自分自身になる。

開集合と閉集合を境界で言いかえる

境界を使うと、開と閉が短い条件になります^[2,3]。

$3$ つ目は連結性とつながります。連結な空間で境界が空になる集合は、空集合と全体だけ。

$\mathbb{R}$ が連結なので、$\mathbb{R}$ の中で境界を持たない集合は $\varnothing$ と $\mathbb{R}$ しかありません。

例：外側の空間を変えると境界が変わる

境界は集合だけでは決まりません。どの空間の中で見ているかで変わります^[2]。

閉円板 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1\}$ を ${\mathbb{R}}^2$ の中で見ると、境界は円周です。内部は開円板になる。

同じ円板を ${\mathbb{R}}^3$ の中の平らな板として見ると、内部が空になります。厚みがないので、どの球も板からはみ出す。

${\mathbb{R}}^3$ での境界は円板全体になります。内部が空で閉包が自身なので、引き算した残りが全部残る。

内部は交わりに強く、和に弱い

内部は交わりときれいに交換します^[1]。

$$\mathrm{int}(A\cap B)=\mathrm{int}(A)\cap \mathrm{int}(B)$$

和では等号が崩れ、片側の包含だけが残ります。$\mathrm{int}(A)\cup \mathrm{int}(B)\subseteq \mathrm{int}(A\cup B)$ という形。

反例は $\mathbb{R}$ で作れます。$A=(-\infty ,0]$、$B=(0,\infty )$ とする。

左辺は $(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$ で $0$ が抜けますが、右辺は $\mathrm{int}(\mathbb{R})=\mathbb{R}$ です。$0$ の扱いだけが食い違う。

境界は和で足し算にならない

境界も和とは相性が悪い。包含 $\partial (A\cup B)\subseteq \partial A\cup \partial B$ は成り立ちますが、等号は落ちます^[2]。

$A=[0,1]$、$B=[1,2]$ で見ます。$\partial A=\{0,1\}$、$\partial B=\{1,2\}$ です。

和は $[0,2]$ なので $\partial (A\cup B)=\{0,2\}$。$1$ が消えました。両側から埋められて、内部の点になったためです。

内部と閉包を重ねる

内部と閉包は逆の操作ではありません^[5]。順に当てると、もとに戻らない。

$X=\mathbb{R}$、$A=\{0\}$ とします。$\mathrm{int}(A)=\varnothing$ なので、閉包をとっても $\varnothing$ のまま。$A$ は閉集合なのに戻りません。

$A=\mathbb{Q}$ では逆向きに崩れます。$\mathrm{cl}(\mathbb{Q})=\mathbb{R}$ なので、その内部は $\mathbb{R}$。もとの $\mathbb{Q}$ より大きくなる。

$\mathrm{int}(\mathrm{cl}(A))=A$ をみたす開集合を正則開集合といいます。$(0,1)$ はそう、$(0,1)\cup (1,2)$ はそうでない。

例：疎な集合を境界で見る

$\mathrm{int}(\mathrm{cl}(A))=\varnothing$ となる集合を、疎な集合といいます。閉包をとっても厚みが出ない集合です。

$\mathbb{Z}\subset \mathbb{R}$ が典型。閉包は自身で、その内部は空になる。

カントール集合も疎です。非可算なほど点が多いのに、閉包の内部が空。境界は自分自身になります。

$\mathbb{Q}$ は疎ではありません。閉包が $\mathbb{R}$ なので、その内部は $\mathbb{R}$ です。境界が全体になる集合と、疎な集合は別物になる。

例：稠密を外部で言いかえる

$\mathrm{cl}(A)=X$ となるとき、$A$ は $X$ で稠密といいます^[5]。

外部の言葉に直すと $\mathrm{ext}(A)=\varnothing$。$A$ から離れていられる点が $1$ つもない、という条件です。

$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で稠密。$\mathbb{Z}$ は稠密ではなく、$(0,1)$ という逃げ場が残ります。

よくある誤り

$3$ 分割に戻れば、たいていの疑問は片づきます。近傍が中に収まるか、外に収まるか、どちらでもないか。この $1$ 行が定義のすべてです。

参考文献

^[1] が内部と外部の定義および和との相性、^[2] が境界の同値な特徴づけと反例、^[3] が補集合との関係、^[4] が区間と有理数の具体例、^[5] が内部と閉包の双対性と稠密性の扱いです。