y=∣sin⁡x∣y = |\sin x|

関数 y=∣sin⁡x∣y = |\sin x| のグラフ

y=∣sin⁡x∣y = |\sin x| は、正弦 sin⁡x\sin x の絶対値をとった関数です。負の部分を折り返して正の側へ移した、山が連なるようなグラフになります。

定義と式

∣sin⁡x∣={sin⁡x(sin⁡x≥0)−sin⁡x(sin⁡x<0)|\sin x| = \begin{cases} \sin x & (\sin x \ge 0) \\ -\sin x & (\sin x < 0) \end{cases}

定義域と値域

定義域はすべての実数で、絶対値なので値はつねに 00 以上、値域は 0≤y≤10 \le y \le 1 です。

周期性

もとの sin⁡x\sin x の周期は 2π2\pi ですが、絶対値をとると負の半波が正に折り返されるため、周期は半分の π\pi になります。実際 ∣sin⁡(x+π)∣=∣−sin⁡x∣=∣sin⁡x∣|\sin(x + \pi)| = |-\sin x| = |\sin x| が成り立ちます。

対称性

∣sin⁡(−x)∣=∣−sin⁡x∣=∣sin⁡x∣|\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x| より偶関数で、yy 軸に関して対称です。

増減ととがった角

各区間で 00 から最大値 11 まで上がり、また 00 へ下がる山（アーチ）をくり返します。最大値 11 は x=π2+nπx = \dfrac{\pi}{2} + n\pi でとります。x=nπx = n\pi では 00 になりますが、その点では左右で傾きの符号が逆転するためとがった角ができ、微分できません。sin⁡x\sin x のなめらかな波と違い、xx 軸に触れる点が角になるのが特徴です。

他の関数との関係

電気回路で交流を直流に整える全波整流の波形がまさに ∣sin⁡x∣|\sin x| の形です。フーリエ級数に展開すると

∣sin⁡x∣=2π−4π∑k=1∞cos⁡2kx4k2−1|\sin x| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos 2kx}{4k^2 - 1}

となり、平均値 2π\dfrac{2}{\pi} のまわりに偶数倍振動の余弦が重なった形で表せます。

具体的な値と連続性

たとえば ∣sin⁡π6∣=12\left|\sin\dfrac{\pi}{6}\right| = \dfrac{1}{2}、∣sin⁡π2∣=1\left|\sin\dfrac{\pi}{2}\right| = 1 です。関数はいたるところ連続ですが、x=nπx = n\pi の角の点でのみ微分できません。11 周期にわたる平均の高さは 2π≈0.64\dfrac{2}{\pi} \approx 0.64 で、これは上のフーリエ級数の定数項に一致します。

応用

整流回路の解析のほか、周期的だが折れ点をもつ信号のモデルとして、また絶対値と三角関数を組み合わせた微分・積分の練習題材としてもよく登場します。