y = |\sin x|

関数 $y = |\sin x|$ のグラフ

$y = |\sin x|$ は、正弦 $\sin x$ の絶対値をとった関数です。負の部分を折り返して正の側へ移した、山が連なるようなグラフになります。

定義

|\sin x| = \begin{cases} \sin x & (\sin x \geq 0) \\ -\sin x & (\sin x < 0) \end{cases}

$|\sin(-x)| = |-\sin x| = |\sin x|$ より偶関数で、 $y$ 軸に関して対称です。さらに各山の頂点を通る直線 $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ に関しても対称になります。

各区間で $0$ から最大値 $1$ まで上がり、また $0$ へ下がる山（アーチ）をくり返します。最大値 $1$ は $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ でとります。

$x = n\pi$ では $0$ になりますが、その点では左右で傾きの符号が逆転するためとがった角ができ、微分できません。 $\sin x$ のなめらかな波と違い、 $x$ 軸に触れる点が角になるのが特徴です。

$x = 0$ での近づき方	傾き
右から（ $x \to 0^{+}$ ）	$1$
左から（ $x \to 0^{-}$ ）	$-1$

関数はいたるところ連続ですが、 $x = n\pi$ の角の点でのみ微分できません。連続であっても微分できるとはかぎらない、身近な例になっています。

$1$ 周期にわたる平均の高さは次のとおりです。

\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \frac{2}{\pi} \approx 0.6366

フーリエ級数に展開すると、この平均値が定数項として現れます。

|\sin x| = \frac{2}{\pi} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos 2kx}{4k^2 - 1}

偶関数なので正弦の項が現れず、周期が $\pi$ なので偶数倍の振動だけが並びます。

電気回路で交流を直流に整える全波整流の波形が、まさに $|\sin x|$ の形です¹。平均値 $\dfrac{2}{\pi}$ が、整流後の出力電圧の目安になります。