有理関数 $y = \dfrac{x}{1+x^2}$

$y = \dfrac{x}{1+x^2}$ は、分子に $x$、分母に $1+x^2$ をもつ有理関数です。アニェージの曲線 $\dfrac{1}{1+x^2}$ に $x$ を掛けた形とみることもでき、原点を境に上向きと下向きのこぶ（山と谷）を一つずつもつのが大きな特徴です。

定義域と値域 分母 $1+x^2$ は最小でも $1$ で決してゼロにならないので、すべての実数 $x$ で定義されます。後述の極大・極小がそのまま最大・最小になるため、値域は $\left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$ です。

対称性 $f(-x) = \dfrac{-x}{1+x^2} = -f(x)$ が成り立つので奇関数であり、グラフは原点に関して点対称です。当然、原点 $(0,0)$ を通ります。

増減と極値 導関数は商の微分法より $f'(x) = \dfrac{(1+x^2) - x\cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}$ となります。$-1 < x < 1$ で正、それ以外で負なので、$x = 1$ で極大値 $\dfrac{1}{2}$、$x = -1$ で極小値 $-\dfrac{1}{2}$ をとります。これらが上下のこぶの頂点です。

漸近線と極限 $x \to \pm\infty$ では分母の $x^2$ が支配的になり $y \to 0$ となるため、$x$ 軸（$y=0$）が水平漸近線です。減衰はおよそ $1/x$ のオーダーとゆるやかで、こぶを越えた後はゆっくりとゼロへ戻ります。

変曲点 二階導関数は $f''(x) = \dfrac{2x(x^2 - 3)}{(1+x^2)^3}$ で、$x = 0$ と $x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.732$ の三か所で符号が変わります。したがって変曲点は三つあり、原点ではグラフが最も急な傾きで横切ります。$x = \sqrt{3}$ での値は $\dfrac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433$ です。

他の関数との関係 この関数は対数関数の導関数として現れ、$\dfrac{d}{dx}\left[\dfrac{1}{2}\ln(1+x^2)\right] = \dfrac{x}{1+x^2}$ が成り立ちます。

応用 物理では、共鳴現象を記述するローレンツ型の応答において、吸収成分が $\dfrac{1}{1+x^2}$ で表されるのに対し、位相のずれ（分散成分）がちょうどこの $\dfrac{x}{1+x^2}$ の形になります。信号処理や交流回路の周波数応答など、山と谷が対になって現れる現象を表すモデルとして役立ちます。