y=x1+x2y = \dfrac{x}{1+x^2}

有理関数 y=x1+x2y = \dfrac{x}{1+x^2}

y=x1+x2y = \dfrac{x}{1 + x^2} は、分子に xx、分母に 1+x21 + x^2 をもつ有理関数です。アニェージの曲線 11+x2\dfrac{1}{1 + x^2} に xx を掛けた形とみることもでき、原点を境に上向きと下向きのこぶを 11 つずつもつのが大きな特徴です。

定義域と値域

分母 1+x21 + x^2 は最小でも 11 で、決して 00 になりません。したがってすべての実数 xx で定義されます。あとで求める極大・極小がそのまま最大・最小になるため、値域は [−12,12]\left[ -\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} \right] です。

対称性

f(−x)=−x1+x2=−f(x)f(-x) = \dfrac{-x}{1 + x^2} = -f(x) が成り立つので奇関数であり、グラフは原点に関して点対称です。当然、原点 (0,0)(0, 0) を通ります。

増減と極値

商の微分法から導関数を求めます。

f′(x)=(1+x2)−x⋅2x(1+x2)2=1−x2(1+x2)2\begin{align*} f'(x) &= \frac{(1 + x^2) - x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} \\ &= \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2} \end{align*}

分母はつねに正なので、符号は分子の 1−x21 - x^2 だけで決まります。

xxf′f' の符号増減
x<−1x < -1負減少
x=−1x = -100極小値 −12-\dfrac{1}{2}
−1<x<1-1 < x < 1正増加
x=1x = 100極大値 12\dfrac{1}{2}
x>1x > 1負減少

これらが上下のこぶの頂点です。

漸近線

x→±∞x \to \pm\infty では分母の x2x^2 が支配的になり y→0y \to 0 となるため、xx 軸が水平漸近線です。減衰はおよそ 1x\dfrac{1}{x} の程度とゆるやかで、こぶをこえたあとはゆっくりと 00 へ戻ります。

変曲点

二階導関数は次のようになります。

f′′(x)=2x(x2−3)(1+x2)3f''(x) = \frac{2x(x^2 - 3)}{(1 + x^2)^3}

x=0x = 0 と x=±3≈±1.732x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1.732 の 33 か所で符号が変わるので、変曲点は 33 つあります。原点ではグラフが最も急な傾きで横切り、そこでの傾きは f′(0)=1f'(0) = 1 です。x=3x = \sqrt{3} での値は 34≈0.433\dfrac{\sqrt{3}}{4} \approx 0.433 です。

対数関数の導関数として

この関数は対数関数の導関数として現れます。

ddx[12ln⁡(1+x2)]=x1+x2\frac{d}{dx}\left[ \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) \right] = \frac{x}{1 + x^2}

分子が分母の導関数の定数倍になっている形なので、置換積分がそのまま効きます。

応用

物理では、共鳴現象を記述するローレンツ型の応答において、吸収成分が 11+x2\dfrac{1}{1 + x^2} で表されるのに対し、位相のずれ（分散成分）がちょうどこの x1+x2\dfrac{x}{1 + x^2} の形になります。信号処理や交流回路の周波数応答など、山と谷が対になって現れる現象を表すモデルとして役立ちます。