分数関数 $y = 1/x$ のグラフ

$y = \dfrac{1}{x}$ は反比例を表す分数関数です。両辺に $x$ を掛けると $xy = 1$ となり、グラフは $x$ 軸と $y$ 軸を漸近線とする双曲線になります。

定義域と値域

$x = 0$ では分母が $0$ になるため定義されません。定義域は $x \neq 0$、値域は $y \neq 0$ で、どちらも $0$ を除くすべての実数です。$\dfrac{1}{x} = 0$ となる $x$ はないので、グラフが $x$ 軸に触れることはありません。

• 定義域は $x \neq 0$
• 値域は $y \neq 0$
• 極大・極小はなし
• 垂直漸近線は $x = 0$、水平漸近線は $y = 0$

対称性

$f(-x) = -f(x)$ より原点に関して点対称な奇関数で、グラフは第 $1$ 象限と第 $3$ 象限に分かれます。さらに直線 $y = x$ と $y = -x$ に関しても線対称です。$y = x$ が双曲線の対称軸で、その上にある $(1, 1)$ と $(-1, -1)$ が双曲線の頂点にあたります。

漸近線と極限

原点をはさんで値が $-\infty$ から $+\infty$ へ跳ぶため、グラフは $2$ つの曲線に分かれます。

増減

導関数は次のようになります。

$x \neq 0$ ではつねに負なので、$x < 0$ の区間でも $x > 0$ の区間でも単調に減少します。ただし実数全体で減少するとはいえません。たとえば $x = -1$ で $y = -1$、$x = 1$ で $y = 1$ と、区間をまたぐと値は増えています。減少といえるのは、あくまで一方の曲線の内側だけです。

特徴的な点

$(1, 1)$、$(-1, -1)$、$\left( 2, \dfrac{1}{2} \right)$、$\left( \dfrac{1}{2}, 2 \right)$ を通ります。曲線上の点はつねに $xy = 1$ を満たすので、点から $2$ つの軸に垂線を下ろしてできる長方形の面積は、どこでも $1$ で一定です。

逆関数

$\dfrac{1}{x}$ の逆関数は $\dfrac{1}{x}$ 自身です。$y = \dfrac{1}{x}$ を $x$ について解くと $x = \dfrac{1}{y}$ となり、$2$ 回続けて適用すると元の値に戻ります。このような関数を対合といいます。

積分すると対数が現れる

不定積分は次のようになります。

べき関数 $x^n$ の積分は $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ ですが、$n = -1$ のときだけ分母が $0$ になって使えません。その穴を埋めるのが自然対数です。分母を $x^2$ にした $\dfrac{1}{x^2}$ は偶関数で値がつねに正になり、性質がはっきり変わります。

応用

反比例は積が一定という関係を表します。

• 一定温度の気体で圧力と体積が反比例するボイルの法則
• 決まった道のりを進むときの速さと所要時間
• 電圧が一定のときの抵抗と電流
• 同じ仕事を人数で分けるときの一人あたりの量