円と直線の交点

半径 $5$、中心が原点の円 $x^2 + y^2 = 25$ に、直線が何回交わるかを考えます。交わり方は、$2$ 点で交わる・$1$ 点で接する・交わらない、の $3$ 通りです。

$2$ つの見分け方

見分ける方法は $2$ つあります。$1$ つは、直線の式を円の式に代入して、出てくる方程式の実数解の個数を数える方法です。もう $1$ つは、中心から直線までの距離と半径をくらべる方法です。どちらでも同じ結論になります。

$3$ 本の横線で比べる

グラフには横の直線を $3$ 本引いています。

$y = 3$ では交点が $(4, 3)$ と $(-4, 3)$ の $2$ 点です。中心 $(0, 0)$ から直線までの距離は $3$ で、半径 $5$ より小さいので、直線は円をつらぬきます。

$y = 5$ では $x^2 = 0$ となり、答えは $x = 0$ の $1$ つだけです。$2$ つの交点がちょうど $1$ 点に重なった状態で、これを直線が円に接するといい、その点 $(0, 5)$ が接点です。中心からの距離は $5$ で、半径とちょうど等しくなっています。

$y = 7$ では $x^2 = -24$ となり、$2$ 乗して負になる実数はないので実数解がありません。中心からの距離は $7$ で、半径 $5$ より大きく、直線は円から離れています。

直線を動かす

横の直線を下から上へ動かすと、この $3$ つのようすが順に現れます。円の中を通っているうちは $2$ 点で交わり、上へ動かすと $2$ つの交点がだんだん近づき、円の縁でちょうど $1$ 点に重なった瞬間が接する状態、さらに動かすと円から離れて交わらなくなります。中心から直線までの距離がだんだん大きくなり、半径 $5$ をこえると交点が消える、と見ることもできます。

距離による判定

まとめると、中心から直線までの距離を $d$、半径を $r$ として次のようになります。

斜めの直線でも同じです。$d$ は点と直線の距離の公式で求められるので、方程式を解かずに交わり方だけを先に知ることができます。グラフ上の大きな点が、交点と接点の位置です。