半径 、中心が原点の円 に、直線が何回交わるかを考えます。交わり方は、2 点で交わる・1 点で接する・交わらない、の 3 通りがあります。
見分ける方法は 2 つあります。1 つは、直線の式を円の式に代入して、出てくる方程式の実数解の個数を数える方法です。もう 1 つは、中心から直線までの距離と半径をくらべる方法です。距離が半径より小さければ 2 点で交わり、ちょうど等しければ接し、大きければ交わりません。
グラフには横の直線を 3 本引いています。まず を円の式に入れると 、つまり となり、 の 2 つが出ます。だから交点は と の 2 点です。中心 から直線 までの距離は で、半径 より小さいので、直線は円をつらぬきます。
次に では 、つまり となり、答えは の 1 つだけです。2 つの交点がちょうど 1 点に重なった状態で、これを「直線が円に接する」といい、その点 が接点です。中心からの距離は で、半径とちょうど等しくなっています。
最後に では 、つまり となり、2 乗して負になる実数はないので、実数解がありません。だから交点もありません。中心からの距離は で、半径 より大きく、直線は円から離れています。
横の直線を下から上へ動かすと、この 3 つのようすが順に現れます。円の中を通っているうちは 2 点で交わり、上へ動かすと 2 つの交点がだんだん近づき、円の縁でちょうど 1 点に重なった瞬間が「接する」状態、さらに動かすと円から離れて交わらなくなります。中心から直線までの距離がだんだん大きくなり、半径 をこえると交点が消える、と見ることもできます。
まとめると、中心から直線までの距離を 、半径を とすると、 なら 2 点で交わり、 なら接し、 なら交わりません。代入して求めた「実数解の個数」も、この 3 つにそのまま対応します。グラフ上の大きな点が、交点と接点の位置です。