y=coth⁡xy = \coth x

双曲線余接関数 y=coth⁡xy = \coth x のグラフ

双曲線余接関数 y=coth⁡xy = \coth x は、双曲線余弦と双曲線正弦の比、すなわち双曲線正接の逆数として定義されます1。

coth⁡x=cosh⁡xsinh⁡x=1tanh⁡x=ex+e−xex−e−x\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{1}{\tanh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}

「ハイパボリックコタンジェント」と読み、三角関数の余接 cot⁡x\cot x に対応する双曲線関数です。

定義域と値域

  • 定義域は x≠0x \neq 0
  • 値域は y<−1y < -1 または y>1y > 1
  • 各枝で単調に減少する
  • 奇関数

分母の sinh⁡x\sinh x は x=0x = 0 でのみ 00 になります。値は必ず 11 より大きいか −1-1 より小さくなり、−1≤y≤1-1 \leq y \leq 1 の値はとりません。

対称性

coth⁡(−x)=−coth⁡x\coth(-x) = -\coth x が成り立つ奇関数で、グラフは原点に関して点対称です。

増減

導関数は次のとおりです。

ddxcoth⁡x=−csch⁡2x=1−coth⁡2x\frac{d}{dx}\coth x = -\operatorname{csch}^2 x = 1 - \coth^2 x

定義域全体でつねに負ですから、x>0x > 0 の枝でも x<0x < 0 の枝でも、それぞれ狭義単調減少します。

漸近線

近づき方coth⁡x\coth x
x→0+x \to 0^{+}→+∞\to +\infty
x→0−x \to 0^{-}→−∞\to -\infty
x→+∞x \to +\infty→1\to 1
x→−∞x \to -\infty→−1\to -1

x=0x = 0 が垂直漸近線、直線 y=1y = 1 と y=−1y = -1 が水平漸近線です。グラフは原点を挟んで上下に分かれた二つの枝からなります。

特徴的な値

xxcoth⁡x\coth x
0.50.5≈2.1640\approx 2.1640
11≈1.3130\approx 1.3130
22≈1.0373\approx 1.0373
33≈1.0050\approx 1.0050

原点付近では sinh⁡x≈x\sinh x \approx x より coth⁡x≈1x\coth x \approx \dfrac{1}{x} となり、反比例に似た発散をします。

双曲線正接との対比

項目tanh⁡x\tanh xcoth⁡x\coth x
定義域すべての実数x≠0x \neq 0
値域(−1,1)(-1, 1)∣y∣>1|y| > 1
原点付近≈x\approx x≈1x\approx \dfrac{1}{x}
遠方→±1\to \pm 1→±1\to \pm 1
増減単調増加各枝で単調減少

原点近くで発散し遠方で ±1\pm 1 に収束する点が、tanh⁡x\tanh x とちょうど逆になっています。恒等式 coth⁡2x−csch⁡2x=1\coth^2 x - \operatorname{csch}^2 x = 1 も成り立ちます。

応用

統計力学では、常磁性体の磁化を表すランジュバン関数の一部として現れます2。

L(x)=coth⁡x−1xL(x) = \coth x - \frac{1}{x}

このほか、プランクの黒体放射やアインシュタインの比熱模型に関連する式のなかにも登場します。

  1. Hyperbolic functions、Wikipedia
  2. Brillouin and Langevin functions、Wikipedia