円の方程式

円とは、$1$ つの決まった点から同じ距離だけ離れた点をぜんぶ集めたものです。その中心となる点を中心、共通の距離を半径といいます。ここでは中心が原点 $(0, 0)$、半径が $5$ の円を考えます。

三平方の定理から

円の上にある点 $(x, y)$ を $1$ つとると、その点から中心までの距離はいつでも $5$ です。中心から見て横に $x$、縦に $y$ だけ離れているので直角三角形ができ、三平方の定理が使えます。

横の $2$ 乗と縦の $2$ 乗の和が、ななめ（半径）の $2$ 乗に等しい、というだけの式です。

点が円の上にあるか

方程式に代入して成り立つかどうかで、その点が円の上にあるかを判定できます。

一般の円

半径を $r$ に変えても考え方は同じで、中心が原点の円は $x^2 + y^2 = r^2$ と書けます。中心が原点からずれて $(a, b)$ にある場合は、横のずれが $x - a$、縦のずれが $y - b$ になります。

これが一般の円の方程式です。$2$ 点間の距離の式 $\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r$ の両辺を $2$ 乗したもの、と読むこともできます。

円は関数ではない

グラフでは、この式を $y$ について解いて描いています。$x^2 + y^2 = 25$ を $y$ について解くと、$2$ つの式に分かれます。

上半分と下半分は、$y = 0$ になる両端 $(5, 0)$ と $(-5, 0)$ でつながって、切れ目のない円になります。$1$ つの $x$ に $y$ が $2$ つ対応するので、円は $y = f(x)$ の形の関数ではありません。だから上と下の $2$ 本に分けて描いています。

円の内と外

等号を不等号に変えると、線ではなく面を表します。

グラフ上の大きな点は、中心の $(0, 0)$ と、円の上の点 $(3, 4)$ です。中心からどの向きに進んでも円までの距離がいつも半径 $5$ に等しい、それが円の方程式が表していることです。