y = \cos x

三角関数 $y = \cos x$ のグラフ

$y = \cos x$ は、単位円周上で角 $x$ （ラジアン）の位置にある点の $x$ 座標です¹。正弦が点の高さを表すのに対し、余弦は横方向の位置を表します。グラフは正弦と同じ形の波で、位置だけがずれています。

定義域と値域

定義域はすべての実数、値域は区間 $[-1, 1]$ です。

定義域はすべての実数
値域は $-1 \leq y \leq 1$
振幅は $1$ 、周期は $2\pi$
最大値 $1$ を $x = 2n\pi$ 、最小値 $-1$ を $x = (2n+1)\pi$ でとる

周期性

$\cos(x + 2\pi) = \cos x$ が成り立ち、周期は $2\pi$ です。

対称性

$\cos(-x) = \cos x$ が成り立つ偶関数で、 $y$ 軸に関して線対称です。奇関数である正弦との、最も大きな違いです。

増減と極値

導関数は $y' = -\sin x$ です。 $x = 2n\pi$ で最大値 $1$ 、 $x = (2n + 1)\pi$ で最小値 $-1$ をとります。とくに $x = 0$ で最大値をとるため、グラフは山から始まります。

二階導関数は $y'' = -\cos x$ で、零点のたびに符号が変わります。したがって変曲点は $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ にあり、零点と一致します。

特徴的な値

$x$	$\cos x$
$0$	$1$
$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{\pi}{2}$	$0$
$\pi$	$-1$

零点は $\cos x = 0$ となる $x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi$ です。

原点付近の近似

点 $(0, 1)$ での接線は水平で、その付近では上に凸の放物線でよく近似できます。

\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}

テイラー展開は偶数次の項だけからなり、すべての実数で収束します。

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots

正弦との対比

項目	$y = \sin x$	$y = \cos x$
$x = 0$ での値	$0$	$1$
対称性	奇関数	偶関数
最大値をとる $x$	$\dfrac{\pi}{2} + 2n\pi$	$2n\pi$
零点	$n\pi$	$\dfrac{\pi}{2} + n\pi$
導関数	$\cos x$	$-\sin x$

$\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$ なので、余弦は正弦の波を左へ $\dfrac{\pi}{2}$ 平行移動したものです。 $\cos x = 0$ となる点が $\tan x$ や $\sec x$ の垂直漸近線の位置を決めています。オイラーの公式 $e^{ix} = \cos x + i\sin x$ では、余弦が実部を担います。

角度と長さを結ぶ

ベクトルの内積や余弦定理のように、余弦は角度と長さを結びつけます²。

\begin{align*} \vec{a} \cdot \vec{b} &= |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta \\ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab\cos C \end{align*}

応用

ベクトルのなす角の計算
三角形の解法における余弦定理
交流の力率と位相の基準
フーリエ展開の余弦成分

波としては正弦と同じものですが、 $x = 0$ で最大値をとるので、位相の基準としてよく使われます。

Sine and cosine、Wikipedia
Law of cosines、Wikipedia

三角関数 y=cos⁡xy = \cos xy=cosx のグラフ