指数関数の増加と減衰

$y = 2^x$ と $y = 2^{-x}$ のグラフを比べます。$2^{-x} = \left( \dfrac{1}{2} \right)^x$ なので、前者は右に行くほど増える増加のグラフ、後者は右に行くほど減る減衰のグラフです。

$y$ 軸に関して対称

$2$ つは $y$ 軸に関して対称で、$x$ を $-x$ に置きかえると入れかわります。どちらも $x = 0$ で $y = 1$ を通り、$(0, 1)$ で交わります。

互いに逆数

同じ $x$ での値を掛けると $2^x \cdot 2^{-x} = 2^0 = 1$ で、つねに $1$ です。つまり $2$ つの関数は互いに逆数の関係にあります。一方が $2$ 倍になれば、他方は半分になるわけです。

一定の時間ごとに一定の倍率

指数の本質は、一定の時間ごとに一定の倍率になることです。増加のグラフでは $x$ が $1$ 増えるごとに値が $2$ 倍になり、減衰のグラフでは $1$ 増えるごとに半分になります。この $2$ 倍になるまでの時間（倍加時間）や、半分になるまでの時間（半減期）が、どこから測っても同じ長さになるのが指数関数の特徴です。値が大きかろうと小さかろうと、倍率は変わりません。

底を逆数にすることと符号を変えること

$y = 2^{-x}$ は、$y = 2^x$ を $y$ 軸で折り返したものであると同時に、底を逆数にした $y = \left( \dfrac{1}{2} \right)^x$ でもあります。底を逆数にすることと $x$ の符号を変えることが同じ操作だ、というのが指数法則 $a^{-x} = \left( \dfrac{1}{a} \right)^x$ の意味で、それがグラフの上では $y$ 軸での折り返しとして見えているわけです。

共通の性質

どちらも値域は $y > 0$ で、$x$ 軸を漸近線にもちます。増加のグラフは左へ行くほど $0$ に近づき、減衰のグラフは右へ行くほど $0$ に近づきますが、決して $0$ には届きません。

応用

大きな点はその交点 $(0, 1)$ と、対称な位置にある $(1, 2)$・$(-1, 2)$ です。